Zerfallsgesetz: Formel + Beispiel + Aufgabe

Im Folgenden wollen wir uns mit dem Zerfallsgesetz beschäftigen. Es lässt sich festhalten, dass aufgrund des Latex formula und Latex formula Zerfalls eine Umwandlung der Atomkerne eines Ausgangsnuklids stattfindet. Das heißt, die Anzahl der Kerne des Ausgangsnuklids nimmt mit der Zeit ab.

Da der radioaktive Zerfall ein zufällig eintretender Prozess ist, weiß man nicht genau wann der einzelne Kern zerfällt. Für eine große Anzahl an Kernen lässt sich allerdings ein Gesetz ermitteln, womit sich der radioaktive Zerfall beschreiben lässt.

Zerfallsgesetz Latex formula:

Sei Latex formula die Anzahl der Kerne eines Ausgangsnuklids zurzeit Latex formula. Dann lässt sich die Anzahl der noch vorhandenen Kerne nach der Zeit Latex formula mit der Formel

Latex formula

beschreiben, wobei Latex formula die sogenannte Zerfallskonstante ist.

Eine wichtige Größe, die in diesem Zusammenhang auftaucht, ist die sogenannte Halbwertszeit Latex formula.

Unter der Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, nach der die Hälfte des Ausgangsnuklids zerfallen ist. Es besteht ein Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante.

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Betrachten wir nun eine Beispiel-Aufgabe mit Lösung.

Aufgabe mit Lösung

Iod-131 besitzt eine Halbwertszeit Latex formula von 8 Tagen. Zu Beginn des radioaktiven Zerfalls seien 2 Millionen Kerne vorhanden. Berechne die Anzahl der noch vorhandenen Kerne nach drei Tagen.

Da die Halbwertszeit angegeben ist, lässt sich die Zerfallskonstante ermitteln.

Es gilt:

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Damit können wir die Zerfallskonstante in das Zerfallsgesetz schon mal einsetzen.

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Da laut Aufgabe zurzeit Latex formula insgesamt zwei Millionen Kerne vorhanden sind, gilt für Latex formula Kerne.

Dies können wir auch in das Zerfallsgesetz einsetzen und erhalten:

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Da laut Aufgabe nach der Anzahl der Kerne nach drei Tagen gefragt ist, setzen wir für t=3 ein und erhalten:

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Damit sind nach drei Tagen noch 1 542 210 Kerne vorhanden. Viel Spaß beim Üben!

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