pq-Formel anwenden + 6 Beispiel-Aufgaben

Im folgenden werden wir die pq-Formel ein wenig näher betrachten. Dazu werden wir insbesondere Wert auf ihre korrekte Anwendung legen. Die pq-Formel ist wie die auch als Mitternachtsformel bezeichnete abc-Formel ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

Latex formula

Die Koeffizienten a, b und c stehen für irgendwelche Zahlen, wobei Latex formula ist. Andernfalls würden wir keine quadratische Gleichung vorliegen haben und die Anwendung der pq-Formel wäre überflüssig.

Um die pq-Formel überhaupt benutzen zu können, müssen wir die Gleichung erst einmal auf ihre sogenannte Normalform bringen. Ganz allgemein heißt das, dass der Vorfaktor des Latex formula gleich 1 sein muss.
Latex formula

Weiter unten werden Beispiele vorgerechnet, in denen gezeigt wird, wie man die Normalform erzeugen kann.

Die pq-Formel lautet wie folgt:

Latex formula

Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante (Abkürzung: D). Anhand der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.

Latex formula

Latex formula
Latex formula
Latex formula

Die Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass sie in der Normalform da steht, danach kann die pq-Formel angewandt werden:

Latex formula

Hier ist Latex formula, also gibt es zwei Lösungen, nämlich Latex formula, und somit ist die Lösungsmenge Latex formula.


Beispiel 2:

Latex formula

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.

Latex formula

Jetzt kann die pq-Formel angewandt werden mit p=3, q=2.

Latex formula

Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich Latex formula, und somit ist die Lösungsmenge Latex formula.


Beispiel 3:

Latex formula

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
Latex formula

Latex formula

Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich Latex formula, und somit ist die Lösungsmenge Latex formula.


Beispiel 4:

Latex formula

Zuerst wird die Gleichung so umgeformt, dass auf einer Seite die 0 steht.

Latex formula

Günstigerweise liegt jetzt die Gleichung schon in Normalform vor, denn vor dem Latex formula steht eine 1. Zur Erinnerung: Latex formula.
Wir können also die pq-Formel anwenden. Vor dem x steht eine 2, dahinter steht die Zahl 1, also kann man die pq-Formel benutzen mit Latex formula:
Latex formula

Da die Diskriminante 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung, nämlich Latex formula. Die Lösungmenge der quadratischen Gleichung ist also Latex formula.


Beispiel 5:

Latex formula

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
Latex formula

Latex formula
Die Diskriminante ist Latex formula

Vorgehensweise: Wie oben erwähnt, kann man die Lösungen einer Gleichung an der Diskriminante ablesen. Keine Lösung gibt es genau dann, wenn gilt:

Latex formula hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

Anmerkung zur pq-Formel

In diesem Text wurden Zusätze beigefügt, die so nicht von einer Lehrkraft verlangt werden müssen. Oft ist es nicht erforderlich, eine Bemerkung hinsichtlich der Diskriminante zu hinterlassen, so wie es hier getan wurde. Dies diente lediglich, um diesem ungewöhnlichem Begriff mehr Inhalt zu geben. Des weiteren ist oben der Begriff abc-Formel gefallen. Diese Lösungsformel ist nicht identisch mit der hier aufgeführten pq-Formel. Die abc-Formel ist vielmehr eine Verallgemeinerung der pq-Formel und dient ebenfalls zum Lösen von quadratischen Gleichungen. In ihr tauchen die 3 Koeffezenten a,b und c auf, sie ist also ein bisschen komplizierter, kann aber direkt auf eine quadratische Gleichung angewandt werden ohne den bei der pq-Formel notwendigen Normalisierungs-Schritt.

Auf Begriffe wie doppelte Nullstelle ist in diesem Text absichtlich nicht eingegangen worden, da er für die pq-Formel als solche keine Rolle spielt. Ebenso wurden komplexe Zahlen außer acht gelassen, weil diese in der Oberstufe des Gymnasiums oder im Studium eingeführt werden.

Das Verständnis der Umformungen von Gleichungen ist größtenteils vorausgesetzt (Bild einer pq-Formel).

Video zur pq-Formel

Zur Vertiefung hier noch ein gutes Mathe-Video, welches sehr gut veranschaulicht, wie man mit der pq-Formel die Nullstellen berechnet.

Kenntnisse wie man mit einer Wurzel oder Ableitung rechnet, sind natürlich Voraussetzung für einen souveränen Einsatz der pq-Formel im Mathe-Unterricht.

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