Im Folgenden werden wir die pq-Formel ein wenig näher betrachten. Dazu werden wir insbesondere Wert auf ihre korrekte Anwendung legen. Die pq-Formel ist ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:
Die Koeffizienten a, b und c stehen für irgendwelche Zahlen, wobei 
ist. Andernfalls würden wir keine quadratische Gleichung vorliegen haben und die Anwendung der pq-Formel wäre überflüssig.
Um die pq-Formel überhaupt benutzen zu können, müssen wir die Gleichung erst einmal auf ihre sogenannte Normalform bringen. Ganz allgemein heißt das, dass der Vorfaktor des 
gleich 1 sein muss.
Weiter unten werden Beispiele vorgerechnet, in denen gezeigt wird, wie man die Normalform erzeugen kann.
Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante (Abkürzung: D). Anhand der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.
D < 0 -> keine Loesungen
Beispiel 1:
Die Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass sie in der Normalform da steht, danach kann die pq-Formel angewandt werden:
Hier ist 
, also gibt es zwei Lösungen, nämlich 
, und somit ist die Lösungsmenge 
.
Beispiel 2:
Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
Jetzt kann die pq-Formel angewandt werden mit p=3, q=2.
Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich 
, und somit ist die Lösungsmenge 
.
Beispiel 3:
Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich 
, und somit ist die Lösungsmenge 
.
Beispiel 4:
Zuerst wird die Gleichung so umgeformt, dass auf einer Seite die 0 steht.
Günstigerweise liegt jetzt die Gleichung schon in Normalform vor, denn vor dem steht eine 1. Zur Erinnerung: 
.
Wir können also die pq-Formel anwenden. Vor dem x steht eine 2, dahinter steht die Zahl 1, also kann man die pq-Formel benutzen mit 
:
Da die Diskriminante 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung, nämlich 
. Die Lösungmenge der quadratischen Gleichung ist also 
.
Beispiel 5:
Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
Die Diskriminante ist 
kleiner 0. Somit hat die quadratische Gleichung keine Lösung, also ist 
.
Beispiel 6:
Zu guter Letzt führe ich noch eine typische Aufgabenstellung vor, die mithilfe der Diskriminante berechnet wird:
Aufgabenstellung: Für welche Zahl q besitzt folgende Gleichung keine Lösung?
Vorgehensweise: Wie oben erwähnt, kann man die Lösungen einer Gleichung an der Diskriminante ablesen. Keine Lösung gibt es genau dann, wenn gilt: D kleiner 0.
Wir führen also unsere Rechnungen zunächst normal durch. Dabei behandeln wir 
wie eine normale Zahl.
Nun muss der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als Null sein. Wir betrachten also für die weitere Rechnung nur diesen Teil und setzen die Voraussetzung D kleiner 0 ein.
Ergebnis: Für q größer 18 hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
Anmerkung zur pq-Formel
In diesem Text wurden Zusätze beigefügt, die so nicht von einer Lehrkraft verlangt werden müssen. Oft ist es nicht erforderlich, eine Bemerkung hinsichtlich der Diskriminante zu hinterlassen, so wie es hier getan wurde. Dies diente lediglich, um diesem ungewöhnlichem Begriff mehr Inhalt zu geben. Des weiteren ist oben der Begriff abc-Formel gefallen. Diese Lösungsformel ist nicht identisch mit der hier aufgeführten pq-Formel. Die abc-Formel ist vielmehr eine Verallgemeinerung der pq-Formel und dient ebenfalls zum Lösen von quadratischen Gleichungen. In ihr tauchen die 3 Koeffezenten a,b und c auf, sie ist also ein bisschen komplizierter, kann aber direkt auf eine quadratische Gleichung angewandt werden ohne den bei der pq-Formel notwendigen Normalisierungs-Schritt.
Auf Begriffe wie doppelte Nullstelle ist in diesem Text absichtlich nicht eingegangen worden, da er für die pq-Formel als solche keine Rolle spielt. Ebenso wurden komplexe Zahlen außer acht gelassen, weil diese in der Oberstufe des Gymnasiums oder im Studium eingeführt werden.
Das Verständnis der Umformungen von Gleichungen ist größtenteils vorausgesetzt.
Hier ein Bild der pq-Formel:
Video zur pq-Formel
Zur Vertiefung hier noch gute Mathe-Video, die sehr gut veranschaulicht, wie man mit der pq-Formel die Nullstellen berechnet.
Kenntnisse wie man mit einer Wurzel oder Ableitung rechnet, sind natürlich Voraussetzung für einen souveränen Einsatz der pq-Formel im Mathe-Unterricht.
Weitere Hilfen & Rechner
(106 Bewertungen, Durchschnitt: 4,51 von 5)
Loading...
