Einsetzungsverfahren leicht erklärt + 5 Übungen

Im folgenden wollen wir uns mit dem Einsetzungsverfahren beschäftigen. Dazu bringen wir zu Beginn eine kurze Erklärung und anschließend diverse Beispiele.

Erklärung

Ziel des Einsetzungsverfahrens ist es aus einer der Gleichungen eines Gleichungssystems eine Variable zu entfernen um so das Gleichungssystem zu lösen.

Dieses Verfahren bietet sich vor allem an wenn eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst ist.

Wir legen direkt mit den Beispielen los da sich dieses Verfahren am besten durch die Anwendung erklären lässt.


Beispiel 1:

Latex formula

Wir sehen das die zweite Gleichung also Latex formula nach einer Variable aufgelöst ist. Demnach können wir diese Gleichung in die erste für das Latex formula einsetzen. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Wir sehen das diese Gleichung nur noch eine Variable enthält. Es gilt nun diese Gleichung zu lösen.

Latex formula

Den errechneten y-Wert können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den zugehörigen y-Wert errechnen. Wir wählen dazu die zweite Gleichung da diese bereits nach Latex formula aufgelöst ist.

Latex formula

Demnach erhalten wir die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 2:

Latex formula

Wir sehen das die zweite Gleichung Latex formula bereits nach einer Variable aufgelöst ist. Demnach können wir Latex formula in die erste Gleichung einsetzen.

Latex formula

Nun können wir den errechneten y-Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Wir wählen die zweite Gleichung.

Latex formula

Demnach erhalten wir die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 3:

Latex formula

Wir sehen das die zweite Gleichung bereits nach Latex formula aufgelöst ist. Demnach können wir die zweite Gleichung in die erste einsetzen.

Latex formula

Den errechneten x-Wert können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen.

Latex formula

Wir erhalten demnach die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 4:

Latex formula

Wir sehen das die zweite Gleichung nach Latex formula aufgelöst ist. Demnach können wir die zweite Gleichung in die erste einsetzen.

Latex formula

Nun können wir den errechneten y-Wert in die zweite Gleichung einsetzen.

Latex formula

Wir erhalten demnach die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 5:

Latex formula

Nun haben wir den Fall in dem keine der beiden Gleichungen nach einer Variable aufgelöst ist. Da wir das Einsetzungsverfahren anwenden wollen, müssen wir als erstes eine der Gleichungen nach einer Variable auflösen. Wir entscheiden uns in dem Fall für die zweite Gleichung.

Latex formula

Wir lösen diese Gleichung nach Latex formula auf.

Latex formula

Nun können wir diese Gleichung in die erste einsetzen.

Latex formula

Den errechneten x-Wert können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen und den zugehörigen y-Wert berechnen.

Latex formula

Wir erhalten demnach die Lösungsmenge Latex formula

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