Integration durch Substitution: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden befassen wir uns mit der Integration durch Substitution. Wir liefern zu Beginn eine Definition und anschließend werden wir diverse Aufgaben durchrechnen. Die Lösung und der Lösungsweg stehen bei der jeweiligen Aufgabe.

Definition:

Seien ein Intervall, f eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung auf dem offenen Intervall und Wertebereich . Ferner sei eine stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der den Wertebereich von umfasst.

Dann gilt: .

Klingt kompliziert? Ihr werdet sehen, wie einfach es eigentlich ist. Deshalb legen wir auch direkt mit den Aufgaben los. ;)

1. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen diese Aufgabe durch Integration durch Substitution lösen. Demnach müssen wir im ersten Schritt uns überlegen was wir am besten substituieren. Es bietet sich an.

Nun folgt ein generell gültiger Schritt.

1. Die Substituion wählen.
2. Nun wird die Substituition differenziert.

   

3. Im letzten Schritt wird nach aufgelöst.

Nun können wir schon einmal das Integral umschreiben. Wir erhalten nach der Substitution:

Wir müssen noch die Grenzen mitsubstituieren. Dies geschieht, indem wir in die untere und die obere Grenzen einsetzen.

Beginnen wir mit der unteren.

Jetzt noch die obere:

Wir erhalten das Integral

Nun folgt die bekannte Integration.

2. Aufgabe mit Lösung

Wir wählen die Substitution

1. 
2. 
3. 

   Demnach ist

Als Nächstes substituieren wir noch die Grenzen. Beginnen wir mit der unteren Grenze.

Nun die obere Grenze.

Jetzt können wir das Integral aufschreiben.

Wir sehen das sich das weg kürzt und wir erhalten:

Dieses Integral lässt sich nun sehr leicht berechnen.

3. Aufgabe mit Lösung

Wir wählen die Substitution

1. 
2. 
3. 

umgestellt nach erhalten wir:

Nun müssen wir noch die Integrationsgrenzen substituieren.

Untere Grenze:

Obere Grenze:

Jetzt können wir das Integral aufschreiben.

Nun können wir die Integration sehr leicht durchführen.

4. Aufgabe mit Lösung

Wir wählen die Substitution

1. 
2. 
3. demnach erhalten wir

Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, sind keine Grenzen vorhanden und wir können direkt zu der Integration übergehen.

Wir sehen, dass wir das kürzen können.

Nun müssen wir noch rücksubstituieren. Wir erhalten demnach:

5. Aufgabe mit Lösung

Wir wählen die Substitution

1. 
2. 
3. 

demnach erhalten wir

Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, müssen wir keine Grenzen mit substituieren.

Wir sehen das sich das weg kürzt.

Nun können wir integrieren.

Nun müssen wir nur noch rücksubstituieren und wir erhalten: