Symmetrie bei Funktionen: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit der Symmetrie bei Funktionen beschäftigen. Wir werden zu Beginn den Begriff der Symmetrie definieren und anschließend konkrete Aufgaben durchrechnen. Die Lösung und den Lösungsweg habe ich jeweils angegeben.

Definition

Wir unterscheiden zwischen gerade und ungerade Symmetrie.

Eine Funktion Latex formula heißt gerade, wenn für alle Latex formula gilt:

Latex formula

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Eine Funktion Latex formula heißt ungerade, wenn für alle Latex formula gilt:

Latex formula

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Legen wir direkt mit den Aufgaben los. Die Fragestellung lautet bei jeder Aufgabe: „Untersuche in den folgenden Aufgaben, ob es sich um eine gerade oder eine ungerade Funktion handelt.“

1. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Um zu überprüfen, ob es sich um eine gerade oder um eine ungerade Funktion handelt, benutzen wir die Definitionen. Fangen wir mit geraden Funktion an.

Es ist zu zeigen, dass Latex formula gilt.

Latex formula

Da ein Quadrat immer positiv ist, gilt Latex formula. Damit haben wir gezeigt, dass es sich um eine gerade Funktion handelt.

2. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir überprüfen als Erstes, ob Latex formula symmetrisch zur y-Achse also Latex formula gerade ist.

Wir müssen zeigen, dass Latex formula

Latex formula

Da ein gerader Exponent eine Zahl immer positiv macht.

Demnach haben wir gezeigt, dass es sich bei Latex formula um eine gerade Funktion handelt.

3. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir überprüfen zuerst, ob es sich bei Latex formula um eine gerade Funktion handelt.

Wir müssen also zeigen, dass Latex formula gilt.

Latex formula

Demnach handelt es sich schonmal nicht um eine gerade Funktion.

Als Nächstes überprüfen wir, ob es sich um eine ungerade Funktion handelt.

Wir müssen zeigen, dsas Latex formula gilt.

Fangen wir mit der linken Seite an.

Latex formula

Nun die rechte Seite.

Latex formula

Nun sehen wir, dass die linke Seite ungleich der rechten Seite ist.

Latex formula

Demnach ist Latex formula auch keine ungerade Funktion. Hier liegt eine andere Symmetrie vor, die wir mit unseren beiden Kriterien nicht überprüfen können.

4. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir überprüfen als Erstes, ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Damit haben wir gezeigt, dass Latex formula schonmal keine gerade Funktion ist. Jetzt prüfen wir, ob Latex formula eine ungerade Funktion ist und benutzen dazu die Definition.

Latex formula

Wir bearbeiten zuerst die linke Seite.

Latex formula

Jetzt schauen wir uns die rechte Seite an.

Latex formula

Wir sehen, dass Latex formula gilt. Demnach handelt es sich um eine ungerade Funktion.

5. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir überprüfen als Erstes, ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Wir haben damit gezeigt das Latex formula keine gerade Funktion ist.

Als Nächstes überprüfen wir, ob es sich um eine ungerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir sehen, dass Latex formula ist. Demnach ist Latex formula weder eine ungerade noch eine gerade Funktion.

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