Symmetrie bei Funktionen: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit der Symmetrie bei Funktionen beschäftigen. Wir werden zu Beginn den Begriff der Symmetrie definieren und anschließend konkrete Aufgaben durchrechnen. Die Lösung und den Lösungsweg habe ich jeweils angegeben.

Definition

Wir unterscheiden zwischen gerade und ungerade Symmetrie.

Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle gilt:

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle gilt:

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Legen wir direkt mit den Aufgaben los. Die Fragestellung lautet bei jeder Aufgabe: „Untersuche in den folgenden Aufgaben, ob es sich um eine gerade oder eine ungerade Funktion handelt.“

1. Aufgabe mit Lösung

Um zu überprüfen, ob es sich um eine gerade oder um eine ungerade Funktion handelt, benutzen wir die Definitionen. Fangen wir mit geraden Funktion an.

Es ist zu zeigen, dass gilt.

Da ein Quadrat immer positiv ist, gilt . Damit haben wir gezeigt, dass es sich um eine gerade Funktion handelt.

2. Aufgabe mit Lösung

Wir überprüfen als Erstes, ob symmetrisch zur y-Achse also gerade ist.

Wir müssen zeigen, dass

Da ein gerader Exponent eine Zahl immer positiv macht.

Demnach haben wir gezeigt, dass es sich bei um eine gerade Funktion handelt.

3. Aufgabe mit Lösung

Wir überprüfen zuerst, ob es sich bei um eine gerade Funktion handelt.

Wir müssen also zeigen, dass gilt.

Demnach handelt es sich schonmal nicht um eine gerade Funktion.

Als Nächstes überprüfen wir, ob es sich um eine ungerade Funktion handelt.

Wir müssen zeigen, dsas gilt.

Fangen wir mit der linken Seite an.

Nun die rechte Seite.

Nun sehen wir, dass die linke Seite ungleich der rechten Seite ist.

Demnach ist auch keine ungerade Funktion. Hier liegt eine andere Symmetrie vor, die wir mit unseren beiden Kriterien nicht überprüfen können.

4. Aufgabe mit Lösung

Wir überprüfen als Erstes, ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Damit haben wir gezeigt, dass schonmal keine gerade Funktion ist. Jetzt prüfen wir, ob eine ungerade Funktion ist und benutzen dazu die Definition.

Wir bearbeiten zuerst die linke Seite.

Jetzt schauen wir uns die rechte Seite an.

Wir sehen, dass gilt. Demnach handelt es sich um eine ungerade Funktion.

5. Aufgabe mit Lösung

Wir überprüfen als Erstes, ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Wir haben damit gezeigt das keine gerade Funktion ist.

Als Nächstes überprüfen wir, ob es sich um eine ungerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Wir sehen, dass ist. Demnach ist weder eine ungerade noch eine gerade Funktion.