Symmetrie Funktionen einfach erklärt + 5 Beispiele

Im folgenden wollen wir uns mit der Symmetrie beschäftigen. Wir werden zu Beginn den Begriff der Symmetrie definieren und anschließend konkrete Beispiele durchrechnen.

Wir unterscheiden zwischen gerade und ungerade Symmetrie.

Eine Funktion Latex formula heißt gerade, wenn für alle Latex formula gilt:

Latex formula

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Eine Funktion Latex formula heißt ungerade, wenn für alle Latex formula gilt:

Latex formula

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Legen wir direkt mit den Beispielen los.

Untersuche in den folgenden Aufgaben ob es sich um eine gerade oder eine ungerade Funktion handelt.


Beispiel 1:

Latex formula

Um zu überprüfen ob es sich um eine gerade oder um eine ungerade Funktion handelt, benutzen wir die Definitionen. Fangen wir mit gerade an.

Es ist zu zeigen das Latex formula gilt.

Latex formula

Da ein Quadrat immer positiv ist, gilt Latex formula. Damit haben wir gezeigt das es sich um eine gerade Funktion handelt.


Beispiel 2:

Latex formula

Wir überprüfen als erstes ob Latex formula symmetrisch zur y-Achse also Latex formula gerade ist.

Wir müssen zeigen das Latex formula

Latex formula

Da ein gerader Exponent eine Zahl immer positiv macht.

Demnach haben wir gezeigt das es sich bei Latex formula um eine gerade Funktion handelt.


Beispiel 3:

Latex formula

Wir überprüfen zu erst ob es sich bei Latex formula um eine gerade Funktion handelt.

Wir müssen also zeigen das Latex formula gilt.

Latex formula

Demnach handelt es sich schonmal nicht um eine gerade Funktion.

Als nächstes überprüfen wir ob es sich um eine ungerade Funktion handelt.

Wir müssen zeigen das Latex formula gilt.

Fangen wir mit der linken Seite an.

Latex formula

Nun die rechte Seite.

Latex formula

Nun sehen wir das die linke Seite ungleich der rechten Seite ist.

Latex formula

Demnach ist Latex formula auch keine ungerade Funktion. Hier liegt eine andere Symmetrie vor die wir mit unseren beiden Kriterien nicht überprüfen können.


Beispiel 4:

Latex formula

Wir überprüfen als erstes ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Damit haben wir gezeigt das Latex formula schonmal keine gerade Funktion ist. Jetzt prüfen wir ob Latex formula eine ungerade Funktion ist und benutzen dazu die Definition.

Latex formula

Wir bearbeiten zuerst die linke Seite.

Latex formula

Jetzt schauen wir uns die rechte Seite an.

Latex formula

Wir sehen das Latex formula gilt. Demnach handelt es sich um eine ungerade Funktion.


Beispiel 5:

Latex formula

Wir überprüfen als erstes ob es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Wir haben damit gezeigt das Latex formula keine gerade Funktion ist.

Als nächstes überprüfen wir ob es sich um eine ungerade Funktion handelt. Dazu benutzen wir die Definition.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir sehen das Latex formula demnach ist Latex formula weder eine ungerade noch eine gerade Funktion.

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