Gleichsetzungsverfahren erklärt + 5 Aufgaben

Im folgenden wollen wir uns mit dem Gleichsetzungsverfahren beschäftigen. Dazu bringen wir zu Beginn eine Erklärung und anschließend rechnen wir diverse Beispiele vor.

Erklärung: Das Ziel des Gleichsetzungsverfahren ist aus einem Gleichungssystem eine Variable zu entfernen. Das Vorgehen lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.

Legen wir also direkt mit den Beispielen los.


Beispiel 1:

Latex formula

Das Gleichsetzungsverfahren kommt meistens dann zum Einsatz, wenn bereits die beiden Gleichungen nach einer Variable aufgelöst sind. Wenn das der Fall ist, können wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

Latex formula

Nun können wir nach Latex formula auflösen. Dazu addieren wir Latex formula.

Latex formula

Nun addieren wir Latex formula.

Latex formula

Jetzt wird noch durch Latex formula dividiert und wir erhalten:

Latex formula

Damit haben wir eine Variable ermittelt. Diese können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen um Latex formula zu erhalten. Nehmen wir dazu die erste Gleichung.

Latex formula

Wir setzen Latex formula ein.

Latex formula

Damit erhalten wir für Latex formula

Demnach erhalten wir die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 2:

Latex formula

Da beide Gleichungen bereits nach Latex formula aufgelöst sind, können wir diese gleichsetzen.

Latex formula

Die Aufgabe ist nach Latex formula aufzulösen. Dazu subtrahieren wir Latex formula.

Latex formula

Im nächsten Schritt subtrahieren wir Latex formula.

Latex formula

Im letzten Schritt dividieren wir durch Latex formula und erhalten damit:

Latex formula

Nun müssen wir Latex formula in eine der beiden Gleichungen einsetzen um das fehlende Latex formula zu erhalten. Nehmen wir dazu die ersten Gleichung.

Latex formula

Nun setzen wir Latex formula ein und erhalten damit:

Latex formula

Latex formula

Damit lautet die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 3:

Latex formula

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden müssen wir als erstes nach einer der beiden Variablen auflösen. Wir entscheiden uns für die Auflösung nach Latex formula.

Latex formula

Jetzt können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen.

Latex formula

Als nächstes müssen wir die erhaltene Gleichung nach Latex formula auflösen.
Dazu addieren wir Latex formula.

Latex formula

Im nächsten Schritt subtrahieren wir Latex formula. Damit erhalten wir:

Latex formula

Nun können wir Latex formula in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Nehmen wir die erste.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Damit erhalten wir die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 4:

Latex formula

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden lösen wir beide Gleichungen nach Latex formula auf. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Nun können wir die Gleichungen gleichsetzen.

Latex formula

Wir lösen die Gleichung nach Latex formula auf. Dazu addieren wir Latex formula.

Latex formula

Nun addieren wir Latex formula.

Latex formula

Im letzten Schritt wird durch Latex formula dividiert. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Wir setzen nun Latex formula in die erste Gleichung ein und bestimmen damit Latex formula.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten damit die Lösungsmenge Latex formula


Beispiel 5:

Latex formula

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden müssen wir beide Gleichungen nach einer Variable auflösen. In dem Fall bietet sich die Auflösung nach Latex formula an. Wir erhalten damit:

Latex formula

Nun können wir die Gleichungen gleichsetzen.

Latex formula

Wir müssen die erhaltene lineare Gleichung nach y auflösen. Dazu subtrahieren wir Latex formula.

Latex formula

Im nächsten Schritt addieren wir Latex formula. Wir erhalten damit:

Latex formula

Wir sehen es handelt sich dabei um eine falsche Aussage. Demnach ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

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