Gleichsetzungsverfahren: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit dem Gleichsetzungsverfahren beschäftigen. Das Ziel des Gleichsetzungsverfahrens ist aus einem Gleichungssystem eine Variable zu entfernen. Das Vorgehen lässt sich am besten an den Aufgaben samt Lösung erklären. Die Lösung und der Lösungsweg sind bei der jeweiligen Aufgabe mitangegeben.

Legen wir also direkt mit den Aufgaben los.

1. Aufgabe mit Lösung

Das Gleichsetzungsverfahren kommt meistens dann zum Einsatz, wenn bereits die beiden Gleichungen nach einer Variable aufgelöst sind. Wenn das der Fall ist, können wir die beiden Gleichungen gleich setzen.

Nun können wir nach auflösen. Dazu addieren wir .

Nun addieren wir .

Jetzt wird noch durch dividiert und wir erhalten:

Damit haben wir eine Variable ermittelt. Diese können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um zu erhalten. Nehmen wir dazu die erste Gleichung.

Wir setzen ein.

Damit erhalten wir für

Demnach erhalten wir die Lösungsmenge

2. Aufgabe mit Lösung

Da beide Gleichungen bereits nach aufgelöst sind, können wir diese gleichsetzen.

Die Aufgabe ist nach aufzulösen. Dazu subtrahieren wir .

Im nächsten Schritt subtrahieren wir .

Im letzten Schritt dividieren wir durch und erhalten damit:

Nun müssen wir in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um das fehlende zu erhalten. Nehmen wir dazu die erste Gleichung.

Nun setzen wir ein und erhalten damit:

Damit lautet die Lösungsmenge

3. Aufgabe mit Lösung

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen wir als Erstes nach einer der beiden Variablen auflösen. Wir entscheiden uns für die Auflösung nach .

Jetzt können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen.

Als Nächstes müssen wir die erhaltene Gleichung nach auflösen.
Dazu addieren wir .

Im nächsten Schritt subtrahieren wir . Damit erhalten wir:

Nun können wir in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Nehmen wir die Erste.

Damit erhalten wir die Lösungsmenge

4. Aufgabe mit Lösung

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, lösen wir beide Gleichungen nach auf. Wir erhalten demnach:

Nun können wir die Gleichungen gleichsetzen.

Wir lösen die Gleichung nach auf. Dazu addieren wir .

Nun addieren wir .

Im letzten Schritt wird durch dividiert. Wir erhalten demnach:

Wir setzen nun in die erste Gleichung ein und bestimmen damit .

Wir erhalten damit die Lösungsmenge

5. Aufgabe mit Lösung

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen wir beide Gleichungen nach einer Variable auflösen. In dem Fall bietet sich die Auflösung nach an. Wir erhalten damit:

Nun können wir die Gleichungen gleichsetzen.

Wir müssen die erhaltene lineare Gleichung nach y auflösen. Dazu subtrahieren wir .

Im nächsten Schritt addieren wir . Wir erhalten damit:

Wir sehen, dass es sich um eine falsche Aussage handelt. Demnach ist das Gleichungssystem nicht lösbar.