Vektorrechnung 1: Vektoren im Raum + Addition & Subtraktion von Vektoren

Im folgenden wollen wir uns mit Vektoren beschäftigen. In „Vektorrechnung 1“ gibt es für den Einstieg erst Mal zwei Themen, die für den Anfang wichtig sind. Das sind:

1. Vektoren im Raum
2. Addition und Subtraktion von Vektoren

Legen wir direkt los mit den Beispielen und Erklärungen:


1. Vektoren im Raum

Ein Vektor mit drei Komponenten Latex formula,Latex formula,Latex formula ist ein spaltenweise geschriebenes Zahlentripel. Latex formula

Der Vektor Latex formula heißt Ortsvektor des Punktes Latex formula.

Der Vektor Latex formula heißt Nullvektor.

Mit diesen Definitionen können wir direkt ein paar Beispiele bearbeiten.

Beispiel 1:

Bestimme den Ortsvektor des angegebenen Punktes.

Latex formula

Der Vorteil des Ortsvektors besteht darin das wir nun Punkte als Vektoren auffassen können. Wir erinnern uns an die Definition des Ortsvektors. Latex formula

Demnach ist der Ortsvektor Latex formula

Da es keine z-Komponente gibt können wir diese auch wegfallen lassen.

Beispiel 2:

Bestimme den Ortsvektors des angegebenen Punktes.

Latex formula

Wir erinnern uns erneut an die Definition eines Ortsvektors. Latex formula und setzen Latex formula ein.

Latex formula

Beispiel 3:

Gib einen Verschiebungsvektor an, der folgende Verschiebung beschreibt.

Latex formula und Latex formula

Um nun den Verschiebungsvektor zu bestimmen müssen wir folgendes machen: Latex formula

Wir nennen den Verschiebungsvektor nun Latex formula und setzen ein.

Latex formula.


Kommen wir zu der nächsten Definition: Gegenvektor.

Unter dem Gegenvektor eines Vektors Latex formula versteht man einen Vektor mit derselben Länge aber entgegengesetzter Richtung und bezeichnet ihn mit Latex formula.

Latex formula

Beispiel 1:

Bestimme den Gegenvektor.

Latex formula

Wir erinnern uns an die Definition die lautet: Latex formula

Wir setzen demnach ein.

Latex formula

2. Addition und Subtraktion von Vektoren

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert.

Latex formula Latex formula

Zwei Vektoren werden komponentenweise subtrahiert.

Latex formula Latex formula
Beispiel 1:

Berechne Latex formula

Wir erinnern uns daran das komponentenweise addiert wird.

Latex formula
Beispiel 2:

Berechne Latex formula

Wir erinnern uns daran das zwei Vektoren komponentenweise subtrahiert werden. Dann ist die Aufgabe auch schon gelaufen.

Latex formula
Beispiel 3:

Bestimme den Vektor Latex formula:

Latex formula

Um den Vektor Latex formula zu bestimmen lösen wir die Gleichung nach Latex formula auf.

Latex formula Latex formula

Nun wird komponentenweise subtrahiert.

Latex formula

Demnach erhalten wir für den Vektor Latex formula

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