Stammfunktion bestimmen: 8 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit der Bestimmung von Stammfunktionen beschäftigen. Dazu bringen wir zu Beginn eine Definition und die dazugehörigen Regeln. Anschließend rechnen wir diverse Aufgaben vor, um die Thematik zu vertiefen. Die Lösung und der Lösungsweg sind bei der jeweiligen Aufgabe mitangegeben.

Definition:

Eine Funktion Latex formula heißt Stammfunktion zur Funktion Latex formula, wenn für alle Latex formula gilt: Latex formula.

Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen:

  • Latex formula
  • Latex formula
  • Latex formula
  • Latex formula
  • Latex formula

Mit diesen Regeln lassen sich schon sehr viele Stammfunktionen bestimmen. Legen wir am besten direkt mit der ersten Aufgabe los.

1. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir sollen zu Latex formula eine Stammfunktion bestimmen. Wir können den Funktionsterm auch anders schreiben. Latex formula. Nun können wir die erste Regel anwenden:

Latex formula

Dazu setzen wir quasi nur ein.

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten demnach: Latex formula wobei Latex formula

Das Latex formula also einer Konstanten erfolgt stets bei einer Stammfunktion, da diese konstante Zahl beim Ableiten wegfällt.

2. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir sollen zu Latex formula eine Stammfunktion bestimmen. Dazu können wir die erste Regel ausnutzen.

3. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir wollen zu Latex formula die Stammfunktion bestimmen. Wir sehen, dass es sich um ein Polynom handelt. Demnach können wir die erste Regel anwenden. Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten demnach die Stammfunktion Latex formula mit Latex formula

4. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir wollen die Stammfunktion zu Latex formula bestimmen. Dazu müssen wir die Klammer auflösen und anschließend summandenweise integrieren.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Nun können wir Latex formula die Stammfunktion Latex formula bestimmen. Da es sich bei Latex formula um ein Polynom handelt, können wir die erste Regel zur Stammfunktionsberechnung anwenden.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten demnach die Stammfunktion Latex formula mit Latex formula

5. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir wollen zu dieser Funktion eine Stammfunktion bestimmen. Wir entnehmen aus der Tabelle die zugehörige Stammfunktion für Latex formula.

Die Stammfunktion lautet demnach Latex formula mit Latex formula

6. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir sollen zu Latex formula eine Stammfunktion angeben. Wir berechnen dazu die Stammfunktion summandenweise.

Latex formula

Wir erhalten demnach die Stammfunktion Latex formula

7. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir wollen zu Latex formula eine Stammfunktion angeben. Dazu umschreiben wir die Funktion zu Latex formula

Nun können wir eine Stammfunktion mit der ersten angegebenen Regel bestimmen.

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten demnach die Stammfunktion Latex formula mit Latex formula

8. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir sollen zu Latex formula eine Stammfunktion bestimmen. Dazu schauen wir in der Tabelle nach und bestimmen damit eine Stammfunktion. Wir erhalten demnach Latex formula mit Latex formula

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