Wurzelgleichungen lösen mit 5 Beispielen

Im folgenden wollen wir uns mit Wurzelgleichungen beschäftigen. Allgemein lässt sich sagen das Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable unter der Wurzel auftritt als Wurzelgleichungen bezeichnet werden. Die meisten Wurzelgleichungen lassen sich durch einfache Umformungen in bereits bekannte Gleichungstypen überführen. Allerdings ist dabei zu beachten, dass auch von Umformungen Gebrauch gemacht wird, die im Allgemeinen keine Äquivalenzumformungen sind (In dem Fall das Quadrieren).

Wir wollen nun an ausgewählen Beispielen demonstrieren wie man Wurzelgleichungen löst.


Beispiel 1:

Latex formula

Im ersten Schritt quadrieren wir die linke als auch die rechte Seite.

Latex formula

Und wir erhalten

Latex formula

Nun bringen wir die Latex formula auf die recht Seite so das wir folgende Gleichung erhalten,

Latex formula

Nun dividieren wir durch Latex formula und erhalten,

Latex formula

Wir haben nun eine quadratische Gleichung in Normalform (D.h. Latex formula). Wir können diese nun mit der pq-Formel lösen. Zur Erinnerung, die pq-Formel lautet: Latex formula.

Wir setzen ein:

Latex formula

Als Lösung erhalten wir:

Latex formula

Im letzten Schritt müssen wir noch eine Probe durchführen. Dies liegt daran da wir am Anfang quadriert haben und eine quadratische Gleichung mit maximal zwei Lösungen erzeugt haben.

Als erstes setzen wir Latex formula ein.

Latex formula

Durch Prüfung mit dem Taschenrechner erhalten wir die Gleichheit. Demnach ist Latex formula schonmal eine Lösung der Wurzelgleichung.

Nun setzen wir Latex formula ein

Latex formula

Durch Prüfung mit dem Taschenrechner erhalten wir das die linke Seite der Gleichung nicht mit der rechten Seite der Gleichung übereinstimmt.

Demnach ist die einzige Lösung der Gleichung Latex formula


Beispiel 2:

Latex formula

Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel indem wir Latex formula subtrahieren.

Latex formula

Nun wird quadriert.

Latex formula

Wir sehen das sich auf der linken Seite eine binomische Formel befindet. Zur Erinnerung, Latex formula Wir lösen nun diese auf.

Latex formula

Nun wird die Latex formula wie auch das Latex formula subtrahiert.

Latex formula

Wir haben erneut eine quadratische Gleichung vorliegen die wir zuerst in die Normalform bringen. Dazu multiplizieren wir mit Latex formula. Wir erhalten

Latex formula

Nun kommt die pq-Formel zum Einsatz.

Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Wir erhalten als Lösung Latex formula

Wir machen nun die Probe und fangen mit Latex formula an.

Latex formula Latex formula

Dies ist eine wahre Aussage demnach ist Latex formula eine Lösung der Gleichung.

Nun testen wir Latex formula.

Wir setzen ein,

Latex formula Latex formula

Dies ist eine falsche Aussage da Latex formula ist.

Die einzige Lösung ist demnach Latex formula.


Beispiel 3:

Latex formula

Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel indem wir x subtrahieren.

Latex formula

Nun wird quadriert.

Latex formula

Auf der rechten Seite steht nun ein Binom.

Latex formula

Wir subtrahieren x und erhalten demnach

Latex formula

Nun haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen. Diese lösen wir nun per pq-Formel.

Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Und erhalten als Lösung Latex formula

Im letzten Schritt machen wir die Probe. Wir fangen mit Latex formula an.

Latex formula

Dies ist eine falsche Aussage denn Latex formula.

Nun setzen wir Latex formula ein.

Latex formula

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die einzige Lösung der Gleichung Latex formula.


Beispiel 4:

Latex formula

Im ersten Schritt quadrieren wir die Gleichung.

Latex formula

Wir lösen nun auf der rechten Seite die binomische Formel auf und erhalten,

Latex formula

Nun subtrahieren wir Latex formula wie auch Latex formula.

Latex formula

Wir haben nun eine lineare Gleichung vorliegen. Wir addieren Latex formula hinzu und erhalten demnach,

Latex formula

Im nächsten Schritt dividieren wir durch Latex formula.

Latex formula

Wir machen zum Schluss noch die Probe. wir setzen Latex formula in die Gleichung.

Latex formula

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die Lösung Latex formula korrekt.


Beispiel 5:

Latex formula

Im ersten Schritt nehmen wir sowohl die linke als auch die rechte Seite Latex formula. Wir erhalten demnach,

Latex formula

Wir haben eine lineare Gleichung erhalten. Wir subtrahieren nun die Latex formula und erhalten danach,

Latex formula

Wir machen zum Schluss noch die Probe und schauen ob wir richtig gerechnet haben.

Latex formula

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die Lösung Latex formula korrekt.

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