Wurzelgleichungen lösen: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit Wurzelgleichungen beschäftigen. Allgemein lässt sich sagen, dass Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable unter der Wurzel auftritt, als Wurzelgleichungen bezeichnet werden. Die meisten Wurzelgleichungen lassen sich durch einfache Umformungen in bereits bekannte Gleichungstypen überführen. Allerdings ist dabei zu beachten, dass auch von Umformungen Gebrauch gemacht wird, die im Allgemeinen keine Äquivalenzumformungen sind (im Fall des quadrieren).

Wir wollen nun an ausgewählten Beispiel-Aufgaben demonstrieren wie man Wurzelgleichungen löst.

1. Aufgabe mit Lösung:

Im ersten Schritt quadrieren wir die linke als auch die rechte Seite.

Und wir erhalten

Nun bringen wir die auf die recht Seite so das wir folgende Gleichung erhalten,

Nun dividieren wir durch und erhalten,

Wir haben nun eine quadratische Gleichung in Normalform (D.h. ). Wir können diese nun mit der pq-Formel lösen. Zur Erinnerung, die pq-Formel lautet: .

Wir setzen ein:

Als Lösung erhalten wir:

Im letzten Schritt müssen wir noch eine Probe durchführen. Dies liegt daran da wir am Anfang quadriert haben und eine quadratische Gleichung mit maximal zwei Lösungen erzeugt haben.

Als erstes setzen wir ein.

Durch Prüfung mit dem Taschenrechner erhalten wir die Gleichheit. Demnach ist schonmal eine Lösung der Wurzelgleichung.

Nun setzen wir ein

Durch Prüfung mit dem Taschenrechner erhalten wir das die linke Seite der Gleichung nicht mit der rechten Seite der Gleichung übereinstimmt.

Demnach ist die einzige Lösung der Gleichung

2. Aufgabe mit Lösung:

Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel, indem wir subtrahieren.

Nun wird quadriert.

Wir sehen das sich auf der linken Seite eine binomische Formel befindet. Zur Erinnerung, Wir lösen nun diese auf.

Nun wird die wie auch das subtrahiert.

Wir haben erneut eine quadratische Gleichung vorliegen, die wir zuerst in die Normalform bringen. Dazu multiplizieren wir mit . Wir erhalten

Nun kommt die pq-Formel zum Einsatz.

Wir setzen ein:

Wir erhalten als Lösung

Wir machen nun die Probe und fangen mit an.

Dies ist eine wahre Aussage, demnach ist eine Lösung der Gleichung.

Nun testen wir .

Wir setzen ein,

Dies ist eine falsche Aussage da ist.

Die einzige Lösung ist demnach .

3. Aufgabe mit Lösung:

Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel, indem wir x subtrahieren.

Nun wird quadriert.

Auf der rechten Seite steht nun ein Binom.

Wir subtrahieren x und erhalten demnach

Nun haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen. Diese lösen wir nun per pq-Formel.

Wir setzen ein:

Und erhalten als Lösung

Im letzten Schritt machen wir die Probe. Wir fangen mit an.

Dies ist eine falsche Aussage denn .

Nun setzen wir ein.

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die einzige Lösung der Gleichung .

4. Aufgabe mit Lösung:

Im ersten Schritt quadrieren wir die Gleichung.

Wir lösen nun auf der rechten Seite die binomische Formel auf und erhalten,

Nun subtrahieren wir wie auch .

Wir haben nun eine lineare Gleichung vorliegen. Wir addieren hinzu und erhalten demnach,

Im nächsten Schritt dividieren wir durch .

Wir machen zum Schluss noch die Probe. Wir setzen in die Gleichung.

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die Lösung korrekt.

5. Aufgabe mit Lösung:

Im ersten Schritt nehmen wir sowohl die linke als auch die rechte Seite . Wir erhalten demnach,

Wir haben eine lineare Gleichung erhalten. Wir subtrahieren nun die und erhalten danach,

Wir machen zum Schluss noch die Probe und schauen, ob wir richtig gerechnet haben.

Wir erhalten eine wahre Aussage. Demnach ist die Lösung korrekt.