Quadratische Ergänzung Erklärung + Beispiel-Aufgaben

Die quadratische Ergänzung als Lösungsmethode quadratischer Gleichungen

Heute widmen wir uns der quadratischen Ergänzung und damit einem der wohl problematischsten Themen der 10 Klasse im Zusammenhang mit Parabeln bzw. quadratischen Funktionen der Form

Latex formula

Eine andere Schreibweise wäre auch z.B.

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gelesen: „f von x gleich …..“. Dabei tritt erstere Variante in der Mittelstufe häufiger auf, weshalb ich im Folgendem auch diese verwenden werde. Die quadratische Ergänzung ist eine Lösungsmethode für quadratische Gleichungen. Die Lösungsidee hinter dem Verfahren ist es eine Gleichung in eine Binomform umzuschreiben.

Zur Erinnerung:

Die drei binomischen Formel lauteten wie folgt:

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Wobei die quadratische Ergänzung nur der ersten beiden Bedarf.

Um die quadratische Ergänzung durchführen zu können müssen wir eine Gleichung auf ihre Normalform bringen. Das heißt, dass der Vorfaktor des x^2=1 sein muss.

Allgemein sieht das Verfahren so aus:

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1. Schritt:

1. Wir nehmen unsere Zahl Latex formula , Latex formula sie mit 2, Latex formula sie, Latex formula und Latex formula sie wieder. Diese Lösungsmethode erst einmal auf der Zunge zergehen lassen. Vorsicht: Das Subtraktionszeichen ist ein Rechenzeichen und kein Vorzeichen!

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Die Frage, was das addieren und sofortige subtrahieren bezweckt, ist berechtigt. Dazu ein einfaches Beispiel:

Die Gleichung

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ist offensichtlich richtig. Wenn wir nun, wie in dem Verfahren der quadratischen Ergänzung gerade gesehen, einfach etwas dazu addieren und nicht subtrahieren, so erhalten wir beispielsweise:

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Und das ist definitiv nicht mehr richtig.

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Wenn wir jedoch wie bei der quadratischen Ergänzung verfahren, also auch wieder subtrahieren, dann bewahren wir die Gleichheit.

Latex formula Latex formula

Dieser verwirrende Schritt ist also lediglich dazu dar, dass in unserer Rechnung die Gleichheit vorhanden bleibt. Und erlaubt uns nun einen Teil der Gleichung in das oben angesprochene Binom zu verwandeln. Demnach:

2. Schritt

Wir wandeln die „ersten drei Teile“ der Gleichung in ein Binom um.

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Um die binomische Formel zu bilden, muss man nur zwischen der ersten und zweiten unterscheiden. Dabei kann man unter naiver Betrachtung sagen, dass wir lediglich die „zwei Teile“ mit dem Quadrat gebrauchen. Den nur diese finden wir später in unserer Klammer wieder:

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Zur Kontrolle überprüfen wir, ob wir die quadratische Ergänzung richtig durchgeführt habe:

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Es liegt die 1. binomische Formel vor.

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Und dies ist gerade das, was wir zur binomischen Formel umgewandelt hatten. Die Probe ist somit korrekt.

3. Schritt

Das was nun kommt sind einfache Umformungen. Wir fassen auf der linken Seite zusammen und rechnen es rüber. Danach folgt das radizieren (Wurzelziehen). An dieser Stelle stoppe ich mit der allgemeinen Betrachtung, da es sonst zu unüberschaubar würde und beginne mit einem Beispiel:

Beispiel 1:

Wir wollen die Nullstellen folgender Gleichung finden:

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Nun ergänzen wir quadratisch:

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Wie oben besprochen bilden die ersten drei Glieder die binomische Formel. In diesem Fall die zweite, da der mittlere Teil negativ ist.

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Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel.

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Beispiel 2:

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Wir suchen die Nullstellen der Funkion.

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Wir ergänzen quadratisch:

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Wir wenden die zweite binomische Formel an:

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Wurzelziehen:

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Und haben somit die Lösung! Viel Spaß beim nachrechnen :-)

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