Kreisbewegung erklärt mit Beispielen (Physik)

Im folgenden wollen wir uns mit der Kreisbewegung beschäftigen. Wir unterteilen diesen Text in verschiedene Abschnitte.

  1. Frequenz & Umlaufdauer
  2. Bahngeschwindigkeit
  3. Winkelgeschwindigkeit
  4. Zentripetalbeschleunigung
  5. Zentripetalkraft & Zentrifugalkraft
  6. Beispiele

Legen wir also los. ;)


1. Frequenz & Umlaufdauer

Fangen wir mit der Umlaufdauer an. Die Umlaufdauer ist das was der Name auch sagt, sie gibt die Zeit t an die für einen Umlauf benötigt wird. Formal wird die Umlaufdauer mit dem großen Buchstaben Latex formula definiert. Die zugehörige Einheit lautet Latex formula (Sekunde).

Kommen wir nun zu der Frequenz. Die Frequenz gibt plump gesprochen die Umdrehungen pro Sekunde an. Für die Frequenz führen wir den Buchstaben Latex formula ein.
Formal ausgedrückt gilt für die Frequenz: Latex formula mit der Einheit Latex formula oder auch Latex formula.

Nun können wir auch den Zusammenhang zur Umlaufdauer herleiten. Wenn wir Latex formula nach Latex formula auflösen, erhalten wir Latex formula. Damit haben wir nun auch eine Formel für die Umlaufdauer.


2. Bahngeschwindigkeit

In der gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit definiert als Latex formula.
Nun ist bei einer Kreisbahn die Strecke der Umfang eines Kreises. Der Umfang eines Kreises ist definiert als Latex formula. Wir setzen demnach für Latex formula den Umfang Latex formula ein.

Latex formula

Da wir von einen Umlauf sprechen, können wir für die Zeit Latex formula auch die Umlaufdauer Latex formula einsetzen. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Wir haben nun eine Formel für die Bahngeschwindigkeit hergeleitet. Da wir wissen das Latex formula definiert ist, können wir Latex formula auch umschreiben zu Latex formula

Wir haben nun zwei Gleichungen für die Bahngeschwindigkeit.


3. Winkelgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit in der gleichförmigen Bewegung ist definiert als Latex formula. Da wir bei der Kreisbewegung keine „gerade“ Strecke zurücklegen sondern einen Winkel, können wir schreiben Latex formula.

Da wir bei Berechnungen z.B. von Latex formula keinen Winkel einsetzen dürfen, müssen wir eine Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß vornehmen. Diese Umrechnung lässt sich ganz einfach vollziehen wenn man weiß das Latex formula entspricht.

Wenn wir also eine ganze Umrundung durchlaufen wollen, können in den Zähler auch Latex formula schreiben. Konkret also: Latex formula.

Nun können wir für die Zeit Latex formula auch die Umlaufdauer Latex formula einsetzen da wir nun eine vollständige Umrundung vollziehen.

Latex formula

Diesen Ausdruck können wir noch umschreiben (da Latex formula gilt) zu

Latex formula

In der Physik wird die Geschwindigkeit Latex formula nun durch den griechischen Buchstaben Latex formula (Omega) ersetzt. Wir erhalten demnach für die Winkelgeschwindigkeit

Latex formula mit der Einheit Latex formula

Wir greifen nun noch einmal die Bahngeschwindigkeit auf und können nun eine weitere Formel für die Bahngeschwindigkeit herleiten.

Die Gleichung für die Bahngeschwindigkeit lautet: Latex formula

Wir sehen das dort Latex formula als Produkt auftaucht. Da wir nun wissen das Latex formula auch gleich Latex formula ist, können wir diesen Ausdruck austauschen und erhalten für die Bahngeschwindigkeit eine weitere Schreibweise Latex formula


4. Zentripetalbeschleunigung

Die Zentripetalbeschleunigung lässt sich mit einem rechtwinkligen Dreieck herleiten. Eine Kathete entspricht dabei Latex formula und die Hypothenuse lautet Latex formula. (Das r stammt aus dem zusätzlichen Radius.)

Nun gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Latex formula.

Wir benutzen anstatt Kathete nun den Buchstaben Latex formula für Radius.

Wir setzen ein:

Latex formula

Nach dem auflösen der Klammern erhalten wir: Latex formula

Nun müssen wir noch einen Grenzübergang durchführen da die Formel nur gilt, wenn Latex formula ziemlich klein ist. Aus der Mathematik kennen wir den Begriff des Limes. Den wollen wir nun auch hier benutzen.

Latex formula

Demnach haben Latex formula

Wir lösen nach Latex formula auf und erhalten für die Zentripetalbeschleunigung Latex formula


5. Zentripetalkraft & Zentrifugalkraft

Wir wissen das die Kraft Latex formula definiert ist als Latex formula. Da wir gerade die Zentripetalbeschleunigung Latex formula hergeleitet haben, können wir nun die Beschleunigung Latex formula austauschen und wir erhalten für die Zentripeltalkraft:

Latex formula

Die Zentripetalkraft wird genau so definiert wie die Zentripetalkraft. Latex formula.


6. Beispiele

Beispiel 1

Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius Latex formula. Er hat die konstante Bahngeschwindigkeit von Latex formula.

a) Welche Winkelgeschwindigkeit hat der Körper?

b) Welche Zentripetalbeschleunigung hat er?

Zur Aufgabe a: Wir schreiben uns zuerst die Angaben heraus.

Latex formula

Nun benutzen wir die Formel Latex formula und stellen nach Latex formula um.

Wir erhalten demnach:

Latex formula

Antwort: Der Körper hat eine Winkelgeschwindigkeit von Latex formula.

Zur Aufgabe b: Wir schreiben uns erneut die Angaben heraus.

Latex formula

und die Beschleunigung ist gesucht.

Wir nehmen die Formel Latex formula und setzen die Angaben ein.

Latex formula

Antwort: Der Körper hat eine Zentripetalbeschleunigung von Latex formula.

Beispiel 2:

Die Mondbewegung kann näherungsweise als eine gleichmäßige Kreisbewegung mit dem Bahnradius Latex formula betrachtet werden. Die Umlaufzeit des Mondes um die Erde beträgt 27 Tage, 7 Stunden und 43 Minuten.

a) Welche Bahngeschwindigkeit hat der Mond?

b) Welche Zentripetalbeschleunigung wirkt auf den Mond?

Zu a: Als erstes schreiben wir uns die Angaben heraus.

Latex formula

Nun benutzen wir die Formel Latex formula und setzen ein.

Latex formula

Antwort: Der Mond hat eine Bahngeschwindigkeit von Latex formula.

Zu b: Wir schreiben uns wieder die Angaben heraus.

Latex formula

Wir benutzen nun die Formel Latex formula und setzen ein.

Latex formula

Antwort: Auf den Mond wirkt eine Zentripetalbeschleunigung von Latex formula.

Viel Spaß beim üben!

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