Im Folgenden wollen wir uns mit der Kreisbewegung beschäftigen. Wir unterteilen diesen Text in verschiedene Abschnitte.
- Frequenz & Umlaufdauer
- Bahngeschwindigkeit
- Winkelgeschwindigkeit
- Zentripetalbeschleunigung
- Zentripetalkraft & Zentrifugalkraft
- Beispiel-Aufgaben mit Lösung
Legen wir also los! ;)
Frequenz & Umlaufdauer
Fangen wir mit der Umlaufdauer an. Die Umlaufdauer ist das, was der Name auch sagt, sie gibt die Zeit t an die für einen Umlauf benötigt wird. Formal wird die Umlaufdauer mit dem großen Buchstaben 
definiert. Die zugehörige Einheit lautet 
(Sekunde).
Kommen wir nun zu der Frequenz. Die Frequenz gibt plump gesprochen die Umdrehungen pro Sekunde an. Für die Frequenz führen wir den Buchstaben 
ein.
Formal ausgedrückt gilt für die Frequenz: 
mit der Einheit 
oder auch 
.
Nun können wir auch den Zusammenhang zur Umlaufdauer herleiten. Wenn wir nach auflösen, erhalten wir 
. Damit haben wir nun auch eine Formel für die Umlaufdauer.
Bahngeschwindigkeit
In der gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit definiert als 
.
Nun ist bei einer Kreisbahn die Strecke der Umfang eines Kreises. Der Umfang eines Kreises ist definiert als 
. Wir setzen demnach für 
den Umfang 
ein.
Da wir von einem Umlauf sprechen, können wir für die Zeit 
auch die Umlaufdauer einsetzen. Wir erhalten demnach:
Wir haben nun eine Formel für die Bahngeschwindigkeit hergeleitet. Da wir wissen das definiert ist, können wir 
auch umschreiben zu 
Wir haben nun zwei Gleichungen für die Bahngeschwindigkeit.
Winkelgeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit in der gleichförmigen Bewegung ist definiert als . Da wir bei der Kreisbewegung keine „gerade“ Strecke zurücklegen, sondern einen Winkel, können wir schreiben 
.
Da wir bei Berechnungen z.B. von 
keinen Winkel einsetzen dürfen, müssen wir eine Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß vornehmen. Diese Umrechnung lässt sich ganz einfach vollziehen, wenn man weiß das 
entspricht.
Wenn wir also eine ganze Umrundung durchlaufen wollen, können in den Zähler auch 
schreiben. Konkret also: 
.
Nun können wir für die Zeit auch die Umlaufdauer einsetzen da wir nun eine vollständige Umrundung vollziehen.
Diesen Ausdruck können wir noch umschreiben (da gilt) zu
In der Physik wird die Geschwindigkeit nun durch den griechischen Buchstaben 
(Omega) ersetzt. Wir erhalten demnach für die Winkelgeschwindigkeit
mit der Einheit 
Wir greifen nun noch einmal die Bahngeschwindigkeit auf und können nun eine weitere Formel für die Bahngeschwindigkeit herleiten.
Die Gleichung für die Bahngeschwindigkeit lautet: 
Wir sehen das dort 
als Produkt auftaucht. Da wir nun wissen das auch gleich ist, können wir diesen Ausdruck austauschen und erhalten für die Bahngeschwindigkeit eine weitere Schreibweise 
Zentripetalbeschleunigung
Die Zentripetalbeschleunigung lässt sich mit einem rechtwinkligen Dreieck herleiten. Eine Kathete entspricht dabei 
und die Hypotenuse lautet 
. (Das r stammt aus dem zusätzlichen Radius.)
Nun gilt nach dem Satz des Pythagoras:
.
Wir benutzen anstatt Kathete nun den Buchstaben 
für Radius.
Wir setzen ein:
Nach dem Auflösen der Klammern erhalten wir: 
Nun müssen wir noch einen Grenzübergang durchführen da die Formel nur gilt, wenn ziemlich klein ist. Aus der Mathematik kennen wir den Begriff des Limes. Den wollen wir nun auch hier benutzen.
Demnach haben 
Wir lösen nach 
auf und erhalten für die Zentripetalbeschleunigung 
Zentripetalkraft & Zentrifugalkraft
Wir wissen, dass die Kraft 
definiert ist als 
. Da wir gerade die Zentripetalbeschleunigung 
hergeleitet haben, können wir nun die Beschleunigung austauschen und wir erhalten für die Zentripetalkraft:
Die Zentripetalkraft wird genau so definiert wie die Zentripetalkraft. 
.
Beispiel-Aufgaben mit Lösung
1. Beispiel-Aufgabe
Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 
. Er hat die konstante Bahngeschwindigkeit von 
.
a) Welche Winkelgeschwindigkeit hat der Körper?
b) Welche Zentripetalbeschleunigung hat er?
Zur Aufgabe a: Wir schreiben uns zuerst die Angaben heraus.
Nun benutzen wir die Formel 
und stellen nach um.
Wir erhalten demnach:
Antwort: Der Körper hat eine Winkelgeschwindigkeit von 
.
Zur Aufgabe b: Wir schreiben uns erneut die Angaben heraus.
und die Beschleunigung ist gesucht.
Wir nehmen die Formel und setzen die Angaben ein.
Antwort: Der Körper hat eine Zentripetalbeschleunigung von 
.
2. Beispiel-Aufgabe
Die Mondbewegung kann näherungsweise als eine gleichmäßige Kreisbewegung mit dem Bahnradius 
betrachtet werden. Die Umlaufzeit des Mondes um die Erde beträgt 27 Tage, 7 Stunden und 43 Minuten.
a) Welche Bahngeschwindigkeit hat der Mond?
b) Welche Zentripetalbeschleunigung wirkt auf den Mond?
Zu a: Als Erstes schreiben wir uns die Angaben heraus.
Nun benutzen wir die Formel 
und setzen ein.
Antwort: Der Mond hat eine Bahngeschwindigkeit von 
.
Zu b: Wir schreiben uns wieder die Angaben heraus.
Wir benutzen nun die Formel und setzen ein.
Antwort: Auf den Mond wirkt eine Zentripetalbeschleunigung von 
.
Viel Spaß beim Nachrechnen der Beispiel-Aufgaben mit Lösung!
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