Scheitelpunkt bestimmen + 3 Übungen

Im Folgenden wird das Wissen um die korrekte Anwendung der quadratischen Ergänzung vorausgesetzt. Sollte dieses Wissen der Zeit nicht verfügbar sein, so wäre es zum eigenem Vorteil den Beitrag „Die quadratische Ergänzung als Lösungsmethode quadratischer Gleichungen“ vorab zu lesen.

Öfters als man mit der quadratischen Ergänzung tatsächlich quadratische Gleichungen löst, bestimmt man mit ihrer Hilfe den Scheitelpunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) einer Funktion. Dabei bleibt das Prinzip der quadratischen Ergänzung weitesgehend erhalten. Es gibt lediglich eine Feinheit zu beachten.

Dabei wollen wir eine Funktion:

Latex formula

auf die sogenannte „Scheitelpunktform“

Latex formula

bringen.

In dieser Form kann man den Scheitelpunkt (S) direkt ablesen.
Es gilt:

Latex formula

Wie man diese Scheitelpunktform erzeugt wird an einem Beispiel am besten klar:

Latex formula

Zu dieser Funktion möchten wir den Scheitelpunkt bestimmen. Zu erst gilt es den Vorfaktor vor dem Latex formula zu entfernen, so dass dieser Latex formula ist.
Wenn lediglich die Nullstellen suchen, so dürfen wir durch diese Zahl (in dem vorliegendem Beispiel die Latex formula) dividieren. Bei der Scheitelpunktbestimmung geht dies nicht, womit wir bereits bei der Feinheit wären.

Würden wir einfach mit Latex formula dividieren, so erhielten wir:

Latex formula

Somit ergäbe sich der Scheitelpunkt für eine Funktion, die um die Hälfte gestaucht ist. Wir rechnen nicht mehr für die Funktion Latex formula sondern Latex formula!

Um dies zu vermeiden müssen wir den Vorfaktor anderweitig beseitigen. Dies schaffen wir indem wir ihn ausklammern.

Ausklammern ist unter naiver Betrachtung das selbe wie dividieren.

Latex formula

Nun Klammern wir die Latex formula aus:

Latex formula

Wir ziehen lediglich den Faktor Latex formula aus jedem Glied der Gleichung.
Um es zu verdeutlichen:

Die vorliegende Funktion hätten wir auch derart umschreiben können:

Latex formula

Hier sieht man sehr schön, dass der Faktor Latex formula überall vorkommt, weshalb wir ihn recht einfach ausklammern können. So erhalten wir die oben genannte Umformung. Es wird immer die Zahl vor dem Latex formula ausgeklammert. Es genügt wenn man die anderen Zahlen durch die zu ausklammernde Zahl dividiert um die korrekte Form zu erhalten.

Latex formula

Nun führen wir die quadratische Ergänzung ganz normal durch.

Wir nehmen die Zahl vor dem x Latex formula, halbieren sie Latex formula, quadrieren sie Latex formula und addieren dieses Ergebnis und subtrahieren es direkt wieder:

Latex formula

Wir bilden die binomische Formel:

Latex formula

Nun multiplizieren wir die Klammer wieder teilweise aus. Das Binom bleibt erhalten!

Latex formula

Wir erinnern uns an die Scheitelpunktform:

Latex formula

In unserem Beispiel ist

Latex formula

Da wir für die Scheitelpunktform

Latex formula

benötigen, müssen wir dies dementsprechend anpassen.
Der Scheitelpunkt der Funktion lautet:

Latex formula

Was sagt dieser Punkt nun aus?
Zum einen ist der Scheitelpunkt der höchste, oder tiefste Punkt der Parabel. Je nachdem ob sie nach oben, oder unten geöffnet ist, kann man zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden. Zweitens ist eine Parabel achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt. Des Weiteren gibt der Scheitelpunkt an um wie viel die Parabel auf der x-Achse und y-Achse verschoben ist.


Beispiel 1:

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:

Latex formula

Als erstes wird die Latex formula ausgeklammert:

Latex formula

Im Anschluss daran bilden wir die quadratische Ergänzung:

Latex formula

Wir bilden das Binom:

Latex formula

Wir fassen den Teil hinter dem Binom zusammen:

Latex formula

Nun multiplizieren wir wieder die ausgeklammerte Latex formula mit dem hinterem Teil. Dabei fällt eine Klammer wieder weg:

Latex formula

Da diese Funktion nach oben geöffnet ist handelt es sich um einen Tiefpunkt.


Beispiel 2:

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:

Latex formula

1. Ausklammern von Latex formula

Latex formula

2. Quadratische Ergänzung

Latex formula

3. Binom bilden

Latex formula

4. Zusammenfassen

Latex formula

5. Latex formula mit dem hinterem Teil multiplizieren

Latex formula

Beispiel 3:

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:

Latex formula

1. Ausklammern von Latex formula. Dabei darauf achten, dass sich die Vorzeichen drehen.

Latex formula

2. Quadratisch Ergänzen

Latex formula

3. Binom bilden

Latex formula

4. Zusammenfassen

Latex formula

5.Latex formula mit dem hinterem Teil multiplizieren

Latex formula

Viel Spaß beim Lösen der Beispiel-Aufgaben!

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