Im Folgenden wird das Wissen um die korrekte Anwendung der quadratischen Ergänzung vorausgesetzt. Sollte dieses Wissen der Zeit nicht verfügbar sein, so wäre es zum eigenem Vorteil den Beitrag „Die quadratische Ergänzung als Lösungsmethode quadratischer Gleichungen“ vorab zu lesen.
Öfters als man mit der quadratischen Ergänzung tatsächlich quadratische Gleichungen löst, bestimmt man mit ihrer Hilfe den Scheitelpunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) einer Funktion. Dabei bleibt das Prinzip der quadratischen Ergänzung weitestgehend erhalten. Es gibt lediglich eine Feinheit zu beachten.
Dabei wollen wir eine Funktion:
auf die sogenannte „Scheitelpunktform“
bringen.
In dieser Form kann man den Scheitelpunkt (S) direkt ablesen.
Es gilt:
Wie man diese Scheitelpunktform erzeugt wird an einem Beispiel am besten klar:
Zu dieser Funktion möchten wir den Scheitelpunkt bestimmen. Zu erst gilt es den Vorfaktor vor dem 
zu entfernen, so dass dieser 
ist.
Wenn lediglich die Nullstellen suchen, so dürfen wir durch diese Zahl (in dem vorliegendem Beispiel die 
) dividieren. Bei der Scheitelpunktbestimmung geht dies nicht, womit wir bereits bei der Feinheit wären.
Würden wir einfach mit dividieren, so erhielten wir:
Somit ergäbe sich der Scheitelpunkt für eine Funktion, die um die Hälfte gestaucht ist. Wir rechnen nicht mehr für die Funktion 
sondern 
!
Um dies zu vermeiden müssen wir den Vorfaktor anderweitig beseitigen. Dies schaffen wir indem wir ihn ausklammern.
Ausklammern ist unter naiver Betrachtung das selbe wie dividieren.
Nun Klammern wir die aus:
Wir ziehen lediglich den Faktor aus jedem Glied der Gleichung.
Um es zu verdeutlichen:
Die vorliegende Funktion hätten wir auch derart umschreiben können:
Hier sieht man sehr schön, dass der Faktor überall vorkommt, weshalb wir ihn recht einfach ausklammern können. So erhalten wir die oben genannte Umformung. Es wird immer die Zahl vor dem ausgeklammert. Es genügt wenn man die anderen Zahlen durch die zu ausklammernde Zahl dividiert um die korrekte Form zu erhalten.
Nun führen wir die quadratische Ergänzung ganz normal durch.
Wir nehmen die Zahl vor dem x 
, halbieren sie 
, quadrieren sie 
und addieren dieses Ergebnis und subtrahieren es direkt wieder:
Wir bilden die binomische Formel:
Nun multiplizieren wir die Klammer wieder teilweise aus. Das Binom bleibt erhalten!
Wir erinnern uns an die Scheitelpunktform:
In unserem Beispiel ist
Da wir für die Scheitelpunktform
benötigen, müssen wir dies dementsprechend anpassen.
Der Scheitelpunkt der Funktion lautet:
Was sagt dieser Punkt nun aus?
Zum einen ist der Scheitelpunkt der höchste, oder tiefste Punkt der Parabel. Je nachdem ob sie nach oben, oder unten geöffnet ist, kann man zwischen Hoch- und Tiefpunkt unterscheiden. Zweitens ist eine Parabel achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt. Des Weiteren gibt der Scheitelpunkt an um wie viel die Parabel auf der x-Achse und y-Achse verschoben ist.
1. Aufgabe mit Lösung:
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:
Als erstes wird die 
ausgeklammert:
Im Anschluss daran bilden wir die quadratische Ergänzung:
Wir bilden das Binom:
Wir fassen den Teil hinter dem Binom zusammen:
Nun multiplizieren wir wieder die ausgeklammerte mit dem hinterem Teil. Dabei fällt eine Klammer wieder weg:
Da diese Funktion nach oben geöffnet ist handelt es sich um einen Tiefpunkt.
2. Aufgabe mit Lösung:
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:
1. Ausklammern von 
2. Quadratische Ergänzung
3. Binom bilden
4. Zusammenfassen
5. mit dem hinterem Teil multiplizieren
3. Aufgabe mit Lösung:
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion:
1. Ausklammern von 
. Dabei darauf achten, dass sich die Vorzeichen drehen.
2. Quadratisch Ergänzen
3. Binom bilden
4. Zusammenfassen
5.
mit dem hinterem Teil multiplizieren
Viel Spaß beim Nachrechnen und Lösen der Beispiel-Aufgaben!
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