Substitutionsmethode an 4 Beispielen einfach erklärt

Im folgenden wollen wir uns mit der Substitutionsmethode zum lösen von Gleichungen höherer Ordnung beschäftigen. Die Substitutionsmethode ist ein Verfahren, das bei einem geeigneten Aufbau der Gleichung die Lösung der Gleichung höherer Ordnung in zwei Schritten ermöglicht. Wir wollen dieses Verfahren nun konkret an Beispielen vorführen.


Beispiel 1:

Latex formula

Im ersten Schritt setzen wir Latex formula

Wir erhalten demnach die Gleichung, Latex formula

Diese lösen wir nun nach u auf. Das geschieht indem wir durch Latex formula dividieren.

Latex formula

Nun wird die dritte Wurzel gezogen.

Latex formula

Nun können wir unsere Substitution wieder aufgreifen.

Latex formula

Wir setzen für Latex formula ein und erhalten,

Latex formula

Und lösen nun nach Latex formula auf. Dazu addieren wir eine Latex formula.

Latex formula

Wir haben nun die Gleichung mit der Substitutionsmethode gelöst. Das Ergebnis lautet:

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Im ersten Schritt bringen subtrahieren wir die Latex formula.

Latex formula

Als nächstes führen wir die Substitution Latex formula durch. Demnach erhalten wir eine Gleichung,

Latex formula

Nun haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen die wir mit der pq-Formel lösen können. Zur Erinnerung, die pq-Formel lautet:

Latex formula

Wir setzen ein,

Latex formula

Wir erhalten demnach für Latex formula:

Latex formula

Nun führen wir die Rücksubstitution durch.

Latex formula

Wir setzen als erstes Latex formula ein.

Latex formula

Nun ziehen wir die Wurzel.

Latex formula

Als nächstes Latex formula.

Latex formula

Da die Wurzel nur für Ausdrücke größer bzw. gleich Null definiert ist, fällt Latex formula als mögliche Lösung weg.

Demnach ist unsere einzige Lösung Latex formula


Beispiel 3:

Latex formula

Im ersten Schritt subtrahieren wir Latex formula.

Latex formula

Nun substituieren wir

Latex formula

Wir erhalten demnach,

Latex formula

Wir haben jetzt eine quadratische Gleichung vorliegen. Diese können wir mit der pq-Formel lösen.

Latex formula

Wir setzen ein,

Latex formula

Nach weiterer Vereinfachung erhalten wir als Lösung:

Latex formula

Nun müssen wir noch die Rücksubstitution durchführen.

Latex formula

Wir setzen zuerst Latex formula ein.

Latex formula

Jetzt wird die dritte Wurzel gezogen.

Demnach ist Latex formula

Nun setzen wir Latex formula ein.

Auch hier wird die dritte Wurzel gezogen.

Latex formula

Wir erhalten für

Latex formula.

Demnach sind die Lösungen der Gleichung Latex formula und Latex formula.


Beispiel 4:

Latex formula

Im ersten Schritt subtrahieren wir die Latex formula.

Latex formula

Nun führen wir die Substitution Latex formula durch.

Demnach erhalten wir die Gleichung,

Latex formula

Nun addieren wir die Latex formula.

Latex formula

Jetzt multiplizieren wir mit Latex formula und wir erhalten,

Latex formula

Jetzt ziehen wir die Latex formula Wurzel und erhalten,

Latex formula

Im nächsten Schritt führen wir die Rücksubstitution durch.

Latex formula

Wir setzen zuerst Latex formula ein.

Latex formula

Wir addieren die Latex formula.

Latex formula

Jetzt dividieren wir durch Latex formula und erhalten,

Latex formula

Jetzt setzen wir Latex formula ein.

Latex formula

Wir addieren die Latex formula,

Latex formula

Nun dividieren wir durch Latex formula.

Latex formula

Die Lösungen der Gleichung sind demnach, Latex formula und Latex formula.

Viel Spaß beim Üben!

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