Im Folgenden wollen wir uns mit linearen Gleichungen beschäftigen. Allgemein lässt sich sagen, dass eine Gleichung des Typs 
mit 
lineare Gleichung heißt.
Sie besitzt für 
genau eine Lösung und zwar 
.
Für 
und 
sind alle Elemente der Grundmenge Lösungen.
Für und 
existiert keine Lösung.
Wir wollen nun an vollständig durchgerechneten Beispielen demonstrieren wie man solch eine Gleichung löst.
1. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Als erstes wird ausmultipliziert.
Der nächste Schritt ist die Zusammenfassung gleicher Glieder.
Als nächstes wird ein Vielfaches von 
auf einer Seite der Gleichung eliminiert. D.h. bei uns im konkreten Fall 
gerechnet.
Nun wird auf der linken Seite eliminiert. D.h. wir rechnen 
.
Der letzte Schritt wäre die Division durch den Faktor vor dem . D.h. wir dividieren durch 
und erhalten,
2. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Zuerst wird ausmultipliziert.
Als nächstes wird ein vielfaches von auf einer Seite der Gleichung elimniert. Konkret heißt das, wir rechnen 
.
Wir dividieren im letzten Schritt durch 
und erhalten,
3. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Wir multiplizieren als erstes aus.
Als nächstes wird ein Vielfaches von auf einer Seite der Gleichung eliminiert und wir erhalten,
Dies ist eine falsche Aussage und demnach existiert keine Lösung.
4. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Der erste Schritt ist das ausmultiplizieren der Gleichung.
Als nächstes wird zusammengefasst.
Nun wird ein vielfaches von auf einer Seite der Gleichung eliminiert, d.h. wir rechnen 
und erhalten,
Wir rechnen im letzten Schritt 
und erhalten,
Dies ist eine wahre Aussage und demnach gibt es unendlich viele Lösungen. D.h. jedes das in die Gleichung eingesetzt wird, erfüllt diese auch.
5. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Als erstes wird ausmultipliziert.
Wir fassen zusammen,
Der nächste Schritt ist ein Vielfaches von auf einer Seite der Gleichung zu elimnieren. D.h. wir subtrahieren 
.
Wir erhalten eine wahre Aussage und demnach erfüllt jedes die Gleichung.
6. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Der erste Schritt ist die Konstanten auf der linken Seite zu eliminieren. D.h. wir subtrahieren 
.
Wir dividieren durch und erhalten
7. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Wir dividieren durch 
und erhalten,
8. Aufgabe mit Lösung:
Die lineare Gleichung lautet:
Als erstes lösen wir die Klammer auf. Dazu erinnern wir uns daran das wir hier eine binomische Formel vorliegen haben,
.
Wir erhalten demnach:
Als nächstes wird ein Vielfaches von auf einer Seite der Gleichung eliminiert. Fangen wir mit 
an. Das heißt, wir subtrahieren und erhalten,
Nun eliminieren wir ein Vielfaches von erneut. Dieses mal addieren wir 
hinzu.
Im letzten Schritt multiplizieren wir mit 
und wir erhalten schlussendlich,
Das waren die 8 Beispiel-Aufgaben mit samt ihrer Lösung. Viel Spaß beim Rechnen!
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