Im Folgenden wollen wir uns mit den Ableitungsregeln näher beschäftigen. Wir legen einen besonderen Wert auf die Anwendung d.h. wir werden an konkreten Beispielen den Umgang und das Verständnis einüben. Fangen wir aber erst mit einer Übersicht der wichtigsten Ableitungsregeln an.
Übersicht der Ableitungsregeln:
Potenzregel:
Haben wir eine Funktion der Form 
mit 
. Dann lautet die Ableitung 
.
Beispiel 1:
Wir bilden nun die Ableitung nach der oben vorgestellten Regel. Als erstes realisieren wir das der Exponent 
ist. D.h. für die Ableitung
Beispiel 2:
Wir bilden die Ableitung erneut mit der vorgestellten Regel.
Beispiel 3:
Wir bilden die Ableitung, 
Beispiel 4:
Nun beschränkt sich die Funktion nicht mehr nur auf ein Glied, sondern gleich auf 3. Das macht allerdings keinen Unterschied, wir leiten mit der vorgestellten Regel ab.
Beispiel 5:
Wir können diesen Wurzelausdruck mit der Potenzregel ableiten. Dazu müssen wir uns klar machen das 
gilt.
Also, 
. Nun können wir die Potenzregel anwenden.
Summenregel:
Die Summenregel haben wir bei der Potenzregel bereits unbewusst angewendet und zwar in dem Beispiel 4. Sie besagt das bei einer endlichen Summe von Funktionen gliedweise differenziert werden darf.
Beispiel 1:
Demnach wenden wir die Potenzregel an und leiten gliedweise ab.
Beispiel 2:
Die Aufgabe sieht vielleicht wild aus, lasst euch aber nicht abschrecken.
Beispiel 3:
mit 
Wieder wird hier mit der Potenzregel gearbeitet.
Beispiel 4:
Wir müssen uns erinnern das wir diesen Ausdruck zu 
umschreiben können. Nun geht es mit der Potenzregel weiter.
Beispiel 5:
Hier kommt auch wieder die Potenzregel zum einsatz und es wird gliedweise differenziert.
Produktregel:
Die Produktregel kommt zum einsatz wenn eine Funktion in Produktform vorliegt. D.h. wenn eine Funktion der Form 
vorliegt, können wir die Produktregel einsetzen um den Ausdruck zu differenzieren. Die Ableitung lautet dann,
Beispiel 1:
Wir schreiben uns 
und 
als erstes raus.
dann ist die Ableitung 
und die Ableitung lautet 
Eingesetzt in 
erhalten wir:
Beispiel 2:
Wir können die binomische Formel auch umschreiben zu 
und nun die Produktregel anwenden.
und die Ableitung lautet
die Ableitung lautet ebenfalls 
Nun setzen wir ein:
Beispiel 3:
Wir schreiben uns zuerst heraus was und was ist.
und die Ableitung lautet 
und die zugehörige Ableitung lautet 
Wir setzen in unsere Werte ein.
Beispiel 4:
Wir definieren uns zuerst und .
und die zugehöroge Ableitung lautet 
und die Ableitung lautet 
Nun setzen wir wieder ein,
Beispiel 5:
Wir erinnern und an die Potenzgesetze und schreiben 
die zugehörige Ableitung lautet
und 
Quotientenregel:
Die Quotientenregel wird genutzt, wenn wir einen Bruch ableiten wollen. D.h. wenn wir eine Funktion der Form 
vorliegen haben. Die Ableitung lautet dann: 
Beispiel 1:
Wir schreiben uns zuerst heraus was und was ist.
dann lautet die Ableitung 
die zugehörige Ableitung lautet 
Wir setzen ein:
Beispiel 2:
Wir schreiben uns und heraus.
und 
demnach ist 
Wir setzen ein:
Beispiel 3:
Demnach ist 
und 
und die Ableitung
Wir setzen ein:
Beispiel 4:
Demnach ist 
und 
und die Ableitung
Eingesetzt ergibt es:
Beispiel 5:
Wir erhalten 
und 
und 
Wir setzen ein:
Kettenregel:
Die Kettenregel kommt bei zusammengesetzten und verschachtelten Funktionen zum Einsatz. Eine Funktion der Form 
nennt man verkettete Funktion. Die Ableitung dazu lautet 
. Als Merksatz lässt sich anfügen, dass man die äußere Funktion mit der inneren multipliziert.
Beispiel 1:
Die äußere Funktion ist 
und die innere Funktion lautet 
Demnach erhalten wir 
und
Wir setzen ein, 
Beispiel 2:
Die äußere Funktion 
und die Ableitung lautet 
Die innere Funktion 
die zugehörige Ableitung lautet 
Wir setzen in ein.
Beispiel 3:
Die äußere Funktion lautet und die innere Funktion lautet 
Die Ableitungen sind demnach, und 
Wir setzen ein,
Beispiel 4:
Demnach ist und . Die innere Funktion 
demnach ist
Wir setzen ein, 
Beispiel 5:
Demnach ist
und
.
und die Ableitung lautet 
Wir setzen in ein und erhalten:
Und zur Vertiefung der gelernten Ableitungsregeln schaut euch diese Videos an, in denen nochmal ausführlich die wichtigsten Regeln der Ableitung erklärt und mit einem Beispiel vertieft werden:
Anmerkung: Abschließend lässt sich sagen, dass diejenigen, welche die Ableitungsregeln wirklich erlernen möchte, weitere Beispiele durchrechnen und einüben sollten. Die Ableitungsregeln bilden das Fundament für weitere Themen in der Analysis. Wie immer gilt in der Mathematik: „Übung macht den Meister“. Also fangt ordentlich an!
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