Die 5 wichtigsten Ableitungsregeln + 25 Beispiele

Im folgenden wollen wir uns mit den Ableitungsregeln näher beschäftigen. Wir legen einen besonderen Wert auf die Anwendung d.h. wir werden an konkreten Beispielen den Umgang und das Verständnis einüben. Fangen wir mit der ersten Ableitungsregel an.

Die 5 wichtigsten Ableitungsregeln setzen sich aus den folgenden Regeln zusammen:


Potenzregel:

Haben wir eine Funktion der Form Latex formula mit Latex formula. Dann lautet die Ableitung Latex formula.

Beispiel 1:

Latex formula

Wir bilden nun die Ableitung nach der oben vorgestellten Regel. Als erstes realisieren wir das der Exponent Latex formula ist. D.h. für die Ableitung

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Wir bilden die Ableitung erneut mit der vorgestellten Regel.

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula

Wir bilden die Ableitung, Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Nun beschränkt sich die Funktion nicht mehr nur auf ein Glied, sondern gleich auf 3. Das macht allerdings keinen Unterschied, wir leiten mit der vorgestellten Regel ab.

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Wir können diesen Wurzelausdruck mit der Potenzregel ableiten. Dazu müssen wir uns klar machen das Latex formula gilt.

Also, Latex formula. Nun können wir die Potenzregel anwenden.

Latex formula

Summenregel:

Die Summenregel haben wir bei der Potenzregel bereits unbewusst angewendet und zwar in dem Beispiel 4. Sie besagt das bei einer endlichen Summe von Funktionen gliedweise differenziert werden darf.

Beispiel 1:

Latex formula

Demnach wenden wir die Potenzregel an und leiten gliedweise ab.

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Die Aufgabe sieht vielleicht wild aus, lasst euch aber nicht abschrecken.

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula mit Latex formula

Wieder wird hier mit der Potenzregel gearbeitet.

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Wir müssen uns erinnern das wir diesen Ausdruck zu Latex formula umschreiben können. Nun geht es mit der Potenzregel weiter.

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Hier kommt auch wieder die Potenzregel zum einsatz und es wird gliedweise differenziert.

Latex formula

Produktregel:

Die Produktregel kommt zum einsatz wenn eine Funktion in Produktform vorliegt. D.h. wenn eine Funktion der Form Latex formula vorliegt, können wir die Produktregel einsetzen um den Ausdruck zu differenzieren. Die Ableitung lautet dann,

Latex formula

Beispiel 1:

Latex formula

Wir schreiben uns Latex formula und Latex formula als erstes raus.

Latex formula dann ist die Ableitung Latex formula

Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula

Eingesetzt in Latex formula erhalten wir:

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Wir können die binomische Formel auch umschreiben zu Latex formulaLatex formula und nun die Produktregel anwenden.

Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula

Latex formula die Ableitung lautet ebenfalls Latex formula

Nun setzen wir ein:

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula

Wir schreiben uns zuerst heraus was Latex formula und was Latex formula ist.

Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula

Latex formula und die zugehörige Ableitung lautet Latex formula

Wir setzen in Latex formula unsere Werte ein.

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Wir definieren uns zuerst Latex formula und Latex formula.

Latex formula und die zugehöroge Ableitung lautet Latex formula

Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula

Nun setzen wir wieder ein,

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Wir erinnern und an die Potenzgesetze und schreiben Latex formula

Latex formula die zugehörige Ableitung lautet Latex formula

Latex formula und Latex formula

Latex formula

Quotientenregel:

Die Quotientenregel wird genutzt, wenn wir einen Bruch ableiten wollen. D.h. wenn wir eine Funktion der Form Latex formulavorliegen haben. Die Ableitung lautet dann: Latex formula

Beispiel 1:

Latex formula

Wir schreiben uns zuerst heraus was Latex formula und was Latex formula ist.

Latex formula dann lautet die Ableitung Latex formula

Latex formula die zugehörige Ableitung lautet Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Wir schreiben uns Latex formula und Latex formula heraus.

Latex formula und Latex formula

Latex formula demnach ist Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula

Demnach ist Latex formula und Latex formula

Latex formula und die Ableitung Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Demnach ist Latex formula und Latex formula

Latex formula und die Ableitung Latex formula

Eingesetzt ergibt es:

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Wir erhalten Latex formula und Latex formula

Latex formula und Latex formula

Wir setzen ein:

Latex formula

Kettenregel:

Die Kettenregel kommt bei zusammengesetzten und verschachtelten Funktionen zum Einsatz. Eine Funktion der Form Latex formula nennt man verkettete Funktion. Die Ableitung dazu lautet Latex formula. Als Merksatz lässt sich anfügen, dass man die äußere Funktion mit der inneren multipliziert.

Beispiel 1:

Latex formula

Die äußere Funktion ist Latex formula und die innere Funktion lautet Latex formula

Demnach erhalten wir Latex formula und Latex formula

Wir setzen ein, Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Die äußere Funktion Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula
Die innere Funktion Latex formula die zugehörige Ableitung lautet Latex formula

Wir setzen in Latex formula ein.

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula

Die äußere Funktion lautet Latex formula und die innere Funktion lautet Latex formula
Die Ableitungen sind demnach, Latex formula und Latex formula

Wir setzen ein,

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Demnach ist Latex formula und Latex formula. Die innere Funktion Latex formulademnach ist Latex formula

Wir setzen ein, Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Demnach ist

Latex formula

und

Latex formula.

Latex formula und die Ableitung lautet Latex formula

Wir setzen in Latex formula ein und erhalten:

Latex formula
Und zur Vertiefung der gelernten Ableitungsregeln schaut euch dieses Video an, in dem nochmal ausführlich die 5 wichtigsten Regeln der Ableitung erklärt und mit einem Beispiel vertieft werden:

Anmerkung: Abschließend lässt sich sagen, dass diejenigen, welche die Ableitungsregeln wirklich erlernen möchte, weitere Beispiele durchrechnen und einüben sollten. Die Ableitungsregeln bilden das Fundament für weitere Themen in der Analysis. Wie immer gilt in der Mathematik: „Übung macht den Meister“. Also fangt ordentlich an!

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