Binomische Formeln anwenden + 20 Übungen mit Lösung

Als nächstes wollen wir uns mit den binomischen Formeln beschäftigen. Ich möchte als erstes die binomischen Formeln benennen und anschließend einige Aufgaben dazu durchrechnen. Ich setze das Wissen über die Potenzgesetze voraus.

Es gibt drei binomische Formeln. Für Zahlen Latex formula gilt:

1. Binomische Formel:

Latex formula
2. Binomische Formel:

Latex formula
3. Binomische Formel:

Latex formula

Anmerkung: Diese Formeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen. Den Nachweis werden wir uns sparen und konzentrieren uns auf die Anwendung dieser Regeln.


Beispiel 1:

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 2:

Latex formula

Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 3:

Latex formula

Es gilt nach der dritten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 4:

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 5:

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 6:

Latex formula

Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
Latex formula


Beispiel 7:

Latex formula

Nach der dritten binomischen Formel erhalten wir:
Latex formula


Beispiel 8:

Latex formula

Nach der zweiten binomischen Formel gilt:
Latex formula


Beispiel 9:

Latex formula

Nach der ersten binomischen Formel erhalten wir:
Latex formula


Beispiel 10:

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich:
Latex formula


Beispiel 11:

Latex formula

Wir wenden auf diesen Term die dritte binomische Formel an:
Latex formula


Beispiel 12:

Latex formula

Hier wendet man auf beide Terme die erste binomische Formel an.

Latex formula

Beispiel 13:

Latex formula

Das ist wieder ein Fall für die dritte binomische Formel:
Latex formula


Beispiel 14:

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula


Beispiel 15:

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula


Beispiel 16:

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula


Beispiel 17:

Latex formula

Unsere Aufgabe ist es nun, auf diesen Term eine binomische Formel anzuwenden. In diesem Fall nutzen wir die erste binomische Formel gewissermaßen rückwärts.

Latex formula

Beispiel 18:

Latex formula

Wir wenden auf diesen Term die zweite binomische Formel rückwärts an:
Latex formula


Beispiel 19:

Latex formula

Das im Kopf auszurechnen ist ganz leicht, wenn man die dritte binomische Formel anwendet:
Latex formula

Wenn also die Differenz von zwei zu multiplizierenden Zahlen gerade ist, also 2 oder 4 oder 6 usw., und man von der Zahl in der Mitte (dem sogenannten arithmetischen Mittel) die Quadratzahl weiß, hier im Beispiel 6400, dann kann man die Aufgabe mit Hilfe der dritten binomischen Formel in Sekundenschnelle lösen.


Beispiel 20:

Latex formula

Wieder kann man die dritte binomische Formel anwenden:
Latex formula


Ja, die dritte binomische Formel macht am meisten Spass!

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