Binomische Formeln: 20 Übungen mit Lösung

Als Nächstes wollen wir uns mit den binomischen Formeln beschäftigen. Ich möchte als Erstes die binomischen Formeln benennen und anschließend einige Aufgaben dazu durchrechnen. Ich setze das Wissen über die Potenzgesetze voraus.

Binomische Formeln

Es gibt drei binomische Formeln. Für Zahlen Latex formula gilt:

1. Binomische Formel:

Latex formula
2. Binomische Formel:

Latex formula
3. Binomische Formel:

Latex formula

Anmerkung: Diese Formeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen. Den Nachweis werden wir uns sparen und konzentrieren uns auf die Anwendung dieser Regeln.

1. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula

2. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
Latex formula

3. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der dritten binomischen Formel:
Latex formula

4. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula

5. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
Latex formula

6. Übung mit Lösung

Latex formula

Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
Latex formula

7. Übung mit Lösung

Latex formula

Nach der dritten binomischen Formel erhalten wir:
Latex formula

8. Übung mit Lösung

Latex formula

Nach der zweiten binomischen Formel gilt:
Latex formula

9. Übung mit Lösung

Latex formula

Nach der ersten binomischen Formel erhalten wir:
Latex formula

10. Übung mit Lösung

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich:
Latex formula

11. Übung mit Lösung

Latex formula

Wir wenden auf diesen Term die dritte binomische Formel an:
Latex formula

12. Übung mit Lösung

Latex formula

Hier wendet man auf beide Terme die erste binomische Formel an.

Latex formula

13. Übung mit Lösung

Latex formula

Das ist wieder ein Fall für die dritte binomische Formel:
Latex formula

14. Übung mit Lösung

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula

15. Übung mit Lösung

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula

16. Übung mit Lösung

Latex formula

Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
Latex formula

17. Übung mit Lösung

Latex formula

Unsere Aufgabe ist es nun, auf diesen Term eine binomische Formel anzuwenden. In diesem Fall nutzen wir die erste binomische Formel gewissermaßen rückwärts.

Latex formula

18. Übung mit Lösung

Latex formula

Wir wenden auf diesen Term die zweite binomische Formel rückwärts an:
Latex formula

19. Übung mit Lösung

Latex formula

Das im Kopf auszurechnen ist ganz leicht, wenn man die dritte binomische Formel anwendet:
Latex formula

Wenn also die Differenz von zwei zu multiplizierenden Zahlen gerade ist, also 2 oder 4 oder 6 usw., und man von der Zahl in der Mitte (dem sogenannten arithmetischen Mittel) die Quadratzahl weiß, hier im Beispiel 6400, dann kann man die Aufgabe mithilfe der dritten binomischen Formel in Sekundenschnelle lösen.

20. Übung mit Lösung

Latex formula

Wieder kann man die dritte binomische Formel anwenden:
Latex formula

Ja, die dritte binomische Formel macht am meisten Spaß! Am besten lernst du die drei binomischen Formeln auswendig. Es führt leider kein Weg dran vorbei. Danach musst du, wie bei allen anderen mathematischen Themen auch, einfach viel Üben und immer wieder Übungen dazu rechnen. Viel Erfolg mit den binomischen Formeln!

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