Als Nächstes wollen wir uns mit den binomischen Formeln beschäftigen. Ich möchte als Erstes die binomischen Formeln benennen und anschließend einige Übungen mit Lösung dazu durchrechnen. Ich setze das Wissen über die Potenzgesetze voraus.
Binomische Formeln
Es gibt drei binomische Formeln. Für Zahlen 
gilt:
Anmerkung: Diese Formeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen. Den Nachweis werden wir uns sparen und konzentrieren uns auf die Anwendung dieser Regeln.
1. Übung mit Lösung
Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
2. Übung mit Lösung
Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
3. Übung mit Lösung
Es gilt nach der dritten binomischen Formel:
4. Übung mit Lösung
Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
5. Übung mit Lösung
Es gilt nach der ersten binomischen Formel:
6. Übung mit Lösung
Es gilt nach der zweiten binomischen Formel:
7. Übung mit Lösung
Nach der dritten binomischen Formel erhalten wir:
8. Übung mit Lösung
Nach der zweiten binomischen Formel gilt:
9. Übung mit Lösung
Nach der ersten binomischen Formel erhalten wir:
10. Übung mit Lösung
Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich:
11. Übung mit Lösung
Wir wenden auf diesen Term die dritte binomische Formel an:
12. Übung mit Lösung
Hier wendet man auf beide Terme die erste binomische Formel an.
13. Übung mit Lösung
Das ist wieder ein Fall für die dritte binomische Formel:
14. Übung mit Lösung
Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
15. Übung mit Lösung
Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
16. Übung mit Lösung
Mit der zweiten binomischen Formel erhält man:
17. Übung mit Lösung
Unsere Aufgabe ist es nun, auf diesen Term eine binomische Formel anzuwenden. In diesem Fall nutzen wir die erste binomische Formel gewissermaßen rückwärts.
18. Übung mit Lösung
Wir wenden auf diesen Term die zweite binomische Formel rückwärts an:
19. Übung mit Lösung
Das im Kopf auszurechnen ist ganz leicht, wenn man die dritte binomische Formel anwendet:
Wenn also die Differenz von zwei zu multiplizierenden Zahlen gerade ist, also 2 oder 4 oder 6 usw., und man von der Zahl in der Mitte (dem sogenannten arithmetischen Mittel) die Quadratzahl weiß, hier im Beispiel 6400, dann kann man die Aufgabe mithilfe der dritten binomischen Formel in Sekundenschnelle lösen.
20. Übung mit Lösung
Wieder kann man die dritte binomische Formel anwenden:
Ja, die dritte binomische Formel macht am meisten Spaß! Am besten lernst du die drei binomischen Formeln auswendig. Es führt leider kein Weg dran vorbei. Danach musst du, wie bei allen anderen mathematischen Themen auch, einfach viel Üben und immer wieder Übungen dazu rechnen. Viel Erfolg mit den binomischen Formeln!
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