Im Folgenden wollen wir uns mit Wendestellen beschäftigen. Dazu definieren wir den Begriff und rechnen anschließend Aufgaben durch. Die Lösung und den Lösungsweg findest du bei der jeweiligen Aufgabe.
Definition:
Die Stelle 
heißt Wendestelle von 
, wenn eine Extremstelle von 
ist. Der Punkt 
heißt dann Wendepunkt des Schaubilds von .
Kriterien für die Existenz von Wendestellen:
1. Notwendiges Kriterium: 
2. Hinreichendes Kriterium: 
.
Es lässt sich also salopp sagen, dass die Wendestellen die Extremwerte der ersten Ableitung sind. Mit der dritten Ableitung prüft man quasi nur nach ob es sich wirklich um einen Extremwert handelt.
Legen wir direkt mit den Aufgaben samt Lösung los.
1. Aufgabe mit Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.
Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Im nächsten Schritt kommt das hinreichende Kriterium zum Einsatz.
Demnach handelt es sich bei um einen Wendepunkt. Wir berechnen den zugehörigen y-Wert, indem wir in 
einsetzen.
Der Wendepunkt lautet demnach 
.
2. Aufgabe mit Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir erneut die ersten drei Ableitungen.
Als Nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Es handelt sich hierbei um eine quadratische Gleichung, die es zu lösen gilt. Wir erhalten 
Im nächsten Schritt nutzen wir das notwendige Kriterium zur Überprüfung, ob es sich bei den beiden errechneten Werten tatsächlich um Extremwerte der ersten Ableitung handelt.
Fangen wir mit 
an.
Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle.
Nun schauen wir uns einmal an.
Demnach handelt es sich auch für um eine Wendestelle.
Als Nächstes berechnen wir noch die zugehörigen y-Werte, indem wir die errechneten x-Werte in einsetzen.
Wir erhalten demnach die Wendestellen 
und 
.
3. Aufgabe mit Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.
Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Im nächsten Schritt nutzen wir das hinreichende Kriterium aus.
Fangen wir mit 
an.
Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle.
Nun schauen wir uns 
an.
Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle.
Berechnen für die zugehörigen y-Werte noch. Dazu fagen wir mit an.
Nun schauen wir uns an.
Demnach erhalten wir die Wendepunkte 
und 
.
4. Aufgabe mit Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.
Als Nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Im nächsten Schritt nutzen wir das hinreichende Kriterium aus.
Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle.
Wir berechnen noch den zugehörigen y-Wert, indem wir in einsetzen.
Demnach erhalten wir den Wendepunkt 
.
5. Aufgabe mit Lösung:
Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.
Im nächsten Schritt kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Nun kommt das hinreichende Kriterium zum Einsatz.
Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle.
Nun berechnen wir noch den zugehörigen y-Wert, indem wir in einsetzen.
Demnach erhalten wir den Wendepunkt 
.
Anmerkung: Ihr solltet die Aufgaben selber einmal durchrechnen. Nur so festigt sich das Vorgehen und das Verständnis für die Berechnung von Wendestellen.
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