Wendestellen berechnen – Beispiele & Aufgaben

Im folgenden wollen wir uns mit Wendestellen beschäftigen. Dazu definieren wir den Begriff und rechnen anschließend Beispiele durch.

Definition: Die Stelle Latex formula heißt Wendestelle von Latex formula, wenn Latex formula eine Extremstelle von Latex formula ist. Der Punkt Latex formula heißt dann Wendepunkt des Schaubilds von Latex formula.

Kriterien für die Existenz von Wendestellen:

1. Notwendiges Kriterium: Latex formula

2. Hinreichendes Kriterium: Latex formula.

Es lässt sich also salopp sagen das die Wendestellen die Extremwerte der ersten Ableitung sind. Mit der dritten Ableitung prüft man quasi nur nach ob es sich wirklich um einen Extremwert handelt.

Legen wir direkt mit den Beispielen los.


Beispiel 1:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula

Latex formula

Im nächsten Schritt kommt das hinreichende Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um einen Wendepunkt. Wir berechnen den zugehörigen y-Wert indem wir Latex formula in Latex formula einsetzen.

Latex formula

Der Wendepunkt lautet demnach Latex formula.


Beispiel 2:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir erneut die ersten drei Ableitungen.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Als nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula

Es handelt sich hierbei um eine quadratische Gleichung die es zu lösen gilt. Wir erhalten Latex formula

Im nächsten Schritt nutzen wir das notwendige Kriterium zur Überprüfung ob es sich bei den beiden errechneten Werten tatsächlich um Extremwerte der ersten Ableitung handelt. Latex formula

Fangen wir mit Latex formula an.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um eine Wendestelle.

Nun schauen wir uns Latex formula einmal an.

Latex formula Demnach handelt es sich auch für Latex formula um eine Wendestelle.

Als nächstes berechnen wir noch die zugehörigen y-Werte indem wir die errechneten x-Werte in Latex formula einsetzen.

Latex formula

Latex formula

Wir erhalten demnach die Wendestellen Latex formula und Latex formula.


Beispiel 3:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Im nächsten Schritt nutzen wir das hinreichende Kriterium aus. Latex formula

Fangen wir mit Latex formula an.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um eine Wendestelle.

Nun schauen wir uns Latex formula an.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um einen Wendestelle.

Berechnen für die zugehörigen y-Werte noch. Dazu fagen wir mit Latex formula an.

Latex formula

Nun schauen wir uns Latex formula an.

Latex formula

Demnach erhalten wir die Wendepunkte Latex formula und Latex formula.


Beispiel 4:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Als nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Im nächsten Schritt nutzen wir das hinreichen Kriterium aus. Latex formula

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um eine Wendestelle.

Wir berechnen noch den zugehörigen y-Wert indem wir Latex formula in Latex formula einsetzen.

Latex formula

Demnach erhalten wir den Wendepunkt Latex formula.


Beispiel 5:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die ersten drei Ableitungen.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Im nächsten Schritt kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Nun kommt das hinreichende Kriterium zum Einsatz. Latex formula

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um eine Wendestelle.

Nun berechnen wir noch den zugehörigen y-Wert indem wir Latex formula in Latex formula einsetzen.

Latex formula

Demnach erhalten wir den Wendepunkt Latex formula.

Anmerkung: Ihr solltet die Aufgaben selber einmal durchrechnen. Nur so festigt sich das Vorgehen und das Verständnis für die Berechnung von Wendestellen.

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