Extremstellen berechnen: 5 Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit der Berechnung von Extremstellen beschäftigen. Dazu unterscheiden wir zwei Kriterien, die beide erfüllt sein müssen.

1. Notwendiges Kriterium:

Latex formula

2. Hinreichendes Kriterium:

Latex formula und Latex formula kleiner 0

Es liegt ein Maximum vor.

Latex formula und Latex formula größer 0

Es liegt ein Minimum vor.

Kommen wir nun zu den Aufgaben. Die Aufgabestellung würde in einer Klausur heißen „Bestimme die Extremstellen.“. Du findest den Lösungsweg mit samt der finalen Lösung direkt bei der Aufgabe. So kannst du genau nachvollziehen, wie das Ergebnis zustande kam.

1. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die erste Ableitung.

Latex formula

Als Nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Dazu berechnen wir die Nullstellen der ersten Ableitung.

Latex formula

also Latex formula

Latex formula

Latex formula

Eine mögliche Extremstelle liegt bei Latex formula.

Im nächsten Schritt überprüfen wir die Behauptung das bei Latex formula eine Extremstelle vorliegt und bestimmen gegebenenfalls, ob es sich dabei um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Wir sehen, Latex formula kleiner 0 bzw. Latex formula kleiner 0 d.h. wir haben bei Latex formula ein Maximum vorliegen.

D.h. Ein Hochpunkt liegt bei Latex formula

2. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir bilden die erste Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

D.h. eine potenzielle Extremstelle befindet sich bei Latex formula

Im nächsten Schritt kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula Latex formula

Latex formula demnach befindet sich bei Latex formula ein Minimum.

Wir setzen den Wert Latex formula in Latex formula ein und erhalten einen Tiefpunkt an der Stelle Latex formula

3. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir bilden die erste Ableitung.

Latex formula

Nun wenden wir die notwendige Bedingung an.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir bilden nun die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.

Latex formula demnach befindet sich bei Latex formula ein Minimum.

Latex formula kleiner 0 demnach befindet sich bei Latex formula ein Maximum.

Wir setzen die beiden Werte noch in Latex formula ein und erhalten damit den zugehörigen y-Wert.

Latex formula und

Latex formula

4. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Demnach haben wir für Latex formula eine potentielle Extremstelle.

Im nächsten Schritt bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um ein Minimum.

Wir setzen den Wert in Latex formula ein und erhalten den Tiefpunkt

Latex formula

5. Aufgabe mit Lösung

Latex formula

Wir bilden im ersten Schritt die erste Ableitung.

Latex formula

Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.

Latex formula Latex formula

Wir erhalten Latex formula

Jetzt bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt das hinreichende Kriterium zum Zug.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um ein Minimum.

Latex formula kleiner 0 demnach handelt es sich auch hier um ein Maximum.

Wir setzen die beiden Werte noch in Latex formula ein und erhalten als Hochpunkt

Latex formula

und als Tiefpunkt

Latex formula

Das waren die fünf Aufgaben, um Extremstellen zu berechnen. Ich hoffe, dass der Lösungsweg dir etwas mehr Klarheit bei der Berechnung dieses Aufgabentyps verschafft hat. Am Ende ist es wie bei jedem mathematischen Thema: Lerne die Grundlagen und übe fleißig mit Beispiel-Aufgaben. Danach wirst du in einer Prüfung die richtigen Extremstellen finden. Viel Erfolg beim Nachrechnen!

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