Im Folgenden wollen wir uns mit der Berechnung von Extremstellen beschäftigen. Dazu unterscheiden wir zwei Kriterien, die beide erfüllt sein müssen.
1. Notwendiges Kriterium:
2. Hinreichendes Kriterium:
und 
kleiner 0
Es liegt ein Maximum vor.
und größer 0
Es liegt ein Minimum vor.
Kommen wir nun zu den Aufgaben. Die Aufgabestellung würde in einer Klausur heißen „Bestimme die Extremstellen.“. Du findest den Lösungsweg mit samt der finalen Lösung direkt bei der Aufgabe. So kannst du genau nachvollziehen, wie das Ergebnis zustande kam.
1. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt bilden wir die erste Ableitung.
Als Nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Dazu berechnen wir die Nullstellen der ersten Ableitung.
also 
Eine mögliche Extremstelle liegt bei .
Im nächsten Schritt überprüfen wir die Behauptung das bei eine Extremstelle vorliegt und bestimmen gegebenenfalls, ob es sich dabei um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.
Wir sehen, 
kleiner 0 bzw. 
kleiner 0 d.h. wir haben bei ein Maximum vorliegen.
D.h. Ein Hochpunkt liegt bei 
2. Aufgabe mit Lösung
Wir bilden die erste Ableitung.
Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.
D.h. eine potenzielle Extremstelle befindet sich bei
Im nächsten Schritt kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.
demnach befindet sich bei ein Minimum.
Wir setzen den Wert in 
ein und erhalten einen Tiefpunkt an der Stelle 
3. Aufgabe mit Lösung
Wir bilden die erste Ableitung.
Nun wenden wir die notwendige Bedingung an.
Wir bilden nun die zweite Ableitung.
Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.
demnach befindet sich bei ein Minimum.
kleiner 0 demnach befindet sich bei 
ein Maximum.
Wir setzen die beiden Werte noch in ein und erhalten damit den zugehörigen y-Wert.
und
4. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt bilden wir die Ableitung.
Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.
Demnach haben wir für eine potentielle Extremstelle.
Im nächsten Schritt bilden wir die zweite Ableitung.
Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.
Demnach handelt es sich bei um ein Minimum.
Wir setzen den Wert in ein und erhalten den Tiefpunkt
5. Aufgabe mit Lösung
Wir bilden im ersten Schritt die erste Ableitung.
Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.
Wir erhalten 
Jetzt bilden wir die zweite Ableitung.
Nun kommt das hinreichende Kriterium zum Zug.
Demnach handelt es sich bei 
um ein Minimum.
kleiner 0 demnach handelt es sich auch hier um ein Maximum.
Wir setzen die beiden Werte noch in ein und erhalten als Hochpunkt
und als Tiefpunkt
Das waren die fünf Aufgaben, um Extremstellen zu berechnen. Ich hoffe, dass der Lösungsweg dir etwas mehr Klarheit bei der Berechnung dieses Aufgabentyps verschafft hat. Am Ende ist es wie bei jedem mathematischen Thema: Lerne die Grundlagen und übe fleißig mit Beispiel-Aufgaben. Danach wirst du in einer Prüfung die richtigen Extremstellen finden. Viel Erfolg beim Nachrechnen!
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