Extremstellen berechnen – Beispiele & Aufgaben

Im folgenden wollen wir uns mit der Berechnung von Extremstellen beschäftigen. Dazu unterscheiden wir zwei Kriterien die beide erfüllt werden müssen.

1. Notwendiges Kriterium:

Latex formula

2. Hinreichendes Kriterium:

Latex formula und Latex formula und Latex formula

Es liegt ein Minimum vor.

 

Kommen wir zu den Beispielen. Bestimme die Extremstellen.


Beispiel 1:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die erste Ableitung.

Latex formula

Als nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Dazu berechnen wir die Nullstellen der ersten Ableitung.

Latex formula

also Latex formula

Latex formula

Latex formula

Ein mögliche Extremstelle liegt bei Latex formula.

Im nächsten Schritt überprüfen wir die Behauptung das bei Latex formula eine Extremstelle vorliegt und bestimmen gegebenfalls ob es sich dabei um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Wir sehen, Latex formula


Beispiel 2:

Latex formula

Wir bilden die erste Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

D.h. eine potentielle Extremstelle befindet sich bei Latex formula

Im nächsten Schritt kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz. Dazu bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula Latex formula

Latex formula demnach befindet sich bei Latex formula ein Minimum.

Wir setzen den Wert Latex formula in Latex formula ein und erhalten einen Tiefpunkt an der Stelle Latex formula


Beispiel 3:

Latex formula

Wir bilden die erste Ableitung.

Latex formula

Nun wenden wir die notwendige Bedingung an.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Wir bilden nun die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.

Latex formula demnach befindet sich bei Latex formula ein Minimum.

Latex formula ein und erhalten damit den zugehörigen y-Wert.

Latex formula und

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Im ersten Schritt bilden wir die Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die notwendige Bedingung zum Einsatz.

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Demnach haben wir für Latex formula eine potentielle Extremstelle.

Im nächsten Schritt bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt die hinreichende Bedingung zum Einsatz.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um ein Minimum.

Wir setzen den Wert in Latex formula ein und erhalten den Tiefpunkt

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Wir bilden im ersten Schritt die erste Ableitung.

Latex formula

Nun kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz.

Latex formula Latex formula

Wir erhalten Latex formula

Jetzt bilden wir die zweite Ableitung.

Latex formula

Nun kommt das hinreichende Kriterium zum Zug.

Latex formula Demnach handelt es sich bei Latex formula um ein Minimum.

Latex formula ein und erhalten als Hochpunkt

Latex formula

und als Tiefpunkt

Latex formula

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