Reelle Zahlen: Kommutativgesetz & Assoziativgesetz & Distributivgesetz

Im Folgenden wollen wir uns mit den Eigenschaften der reellen Zahlen beschäftigen. Wir legen dabei den Fokus auf die Gesetze, die uns direkt beim Rechnen helfen werden. Das sind nämlich:

Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz

Legen wir also direkt los:

Kommutativgesetz

Kommutativgesetz der Addition

$\text{[math]}$

Kommutativgesetz der Multiplikation

$\text{[math]}$

Schauen wir uns dazu direkt einige Beispiele an um diese abstrakten Gesetze zu verdeutlichen.

Wenn wir $\text{[math]}$ Euro besitzen und erhalten $\text{[math]}$ Euro hinzu so besitzen wir $\text{[math]}$ Euro. Wir können den Sachverhalt auch anders herum betrachten. Besitzen wir $\text{[math]}$ Euro und erhalten $\text{[math]}$ Euro so besitzen wir $\text{[math]}$ Euro. Was wir hier demonstriert haben ist das Kommutativgesetz der Addition. Schreiben wir den Sachverhalt nun in mathematisch korrekter Form auf.

$\text{[math]}$

und es gilt ebenso

$\text{[math]}$ .

Weitere Beispiele zu dem Kommutativgesetz sind:

$\text{[math]}$

als auch

$\text{[math]}$

Schauen wir uns nun das Kommutativgesetz der Multiplikation an.

Betrachten wir

$\text{[math]}$

Dieses können wir nach dem Kommutativgesetz auch schreiben als

$\text{[math]}$

Weitere Beispiele sind

$\text{[math]}$

und

$\text{[math]}$

Wenn man zum Beispiel einmal vergessen hat was $\text{[math]}$ ist aber noch weiß was $\text{[math]}$ ist, kann man das Kommutativgesetz ausnutzen und die Aufgabe lösen.

Kommen wir nun zu einem weiteren Gesetz.

Assoziativgesetz

Assoziativgesetz der Addition

$\text{[math]}$

Assoziativgesetz der Multiplikation

$\text{[math]}$

Schauen wir uns einige Beispiele zu der Addition an.

$\text{[math]}$

können wir nach dem Assoziativgesetz auch schreiben als

$\text{[math]}$ .

Wir sehen, der zweite Schritt also $\text{[math]}$ oder $\text{[math]}$ ist jeweils verschieden das Ergebnis aber dennoch gleich.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel dazu an.

$\text{[math]}$

und

$\text{[math]}$

Wir sehen also auch hier erhalten wir das selbe Ergebnis.

Wir können das Assoziativgesetz dann einsetzen, wenn uns eine Addition oder auch Multiplikation leichter fällt. Dazu setzen wir die Klammer um das was wir als erstes addieren oder multiplizieren wollen. Ein Beispiel für die Multiplikation ist