Addition und Multiplikation mit der Null

Im Folgenden wollen wir uns mit der Zahl Null näher beschäftigen. Dazu definieren wir zu Beginn zwei Rechenregeln wie wir mit der Null zu rechnen haben.

Addition mit der Null:

Latex formula
Multiplikation mit der Null:

Latex formula

Schauen wir uns die Addition mit der Null etwas genauer an und betrachten dazu einige Beispiele.

Latex formula

Wir sehen das die Addition mit der Zahl Null kommutativ ist.

Latex formula

Schauen wir uns nun einige Beispiele zur Multiplikation mit der Null an.

Latex formula

Wir sehen, dass die Multiplikation mit der Zahl Null kommutativ ist.

Latex formula

Wir sehen, die Addition und Multiplikation mit der Null ist nicht besonders aufregend.


Betrachten wir nun einen Sonderfall und zwar betrachten wir nun die drei Fälle:

1) Latex formula mit Latex formula

2) Latex formula mit Latex formula

3) Latex formula

1. Fall

Latex formula mit Latex formula

Die Frage die sich nun stellt, welche Zahl multipliziert mit Latex formula ergibt Null. Also können wir die Aufgabe in die Sprache der Mathematik übersetzen zu Latex formula mit Latex formula. Also multiplizieren wir einmal mit Latex formula und erhalten:

Latex formula

mit Latex formula. Welche Zahl ergibt mit einer Zahl Latex formula die ungleich Null ist die Null? Dies kann nur die Zahl Null selber sein also ist das Latex formula.

Wir erhalten demnach:

Latex formula

mit Latex formula.

2. Fall

Latex formula mit Latex formula

Die Frage die sich in diesen Fall stellt ist was multipliziert mit Null die Zahl Latex formula ergibt. Wir schreiben also

Latex formula

und multiplizieren mit Latex formula. Wir erhalten die Gleichung Latex formula mit Latex formula. Halt! nach unseren Rechenregeln für die Null erhalten wir für Latex formula. Also steht dort:

Latex formula mit Latex formula

Was ein Widerspruch ist! Die Division durch die Null ist also nicht definiert. Wir schreiben: Latex formula mit Latex formula nicht definiert.

3. Fall

Latex formula

Die Frage die sich stellt ist, welche Zahl multipliziert mit der Null ergibt Null? Umschreiben wir das Problem in die Sprache der Mathematik.

Latex formula nun multiplizieren wir mit Null und erhalten: Latex formula. Nun haben wir ein Problem, wenn wir nun für Latex formula beliebige Zahlen einsetzen, wird die Gleichung immer erfüllt sein.

Zum Beispiel:

Latex formula

Latex formula usw.

Demnach könnte die Frage gestellt werden, kann Latex formula gleich jeder beliebigen Zahl sein? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Latex formula lässt sich schreiben als Latex formula und das nach unserer Erkenntnis das Latex formula jede Zahl sein kann zu Latex formula. Da Latex formula jede Zahl sein kann würde es sich auch als Latex formula schreiben lassen also Latex formula.
Schreiben wir den Gedankengang einmal als Gleichungskette auf.

Latex formula

Wir erhalten nun Latex formula was offensichtlich ein Widerspruch ist. Wir würden in jeder Rechnung Widersprüche erhalten. Deswegen wird Latex formula als unbestimmt festgelegt und damit ist der Widerspruch aus der Welt.

Also gilt Latex formula unbestimmt.

Viel Spaß beim nachrechnen! :-)

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