Addition und Multiplikation mit 0: Aufgaben mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit der Zahl Null näher beschäftigen. Dazu definieren wir zu Beginn zwei Rechenregeln wie wir mit der Null zu rechnen haben.

Aufgaben zur Addition mit 0

Schauen wir uns die Addition mit der 0 etwas genauer an und betrachten dazu einige Aufgaben.

Wir sehen, dass die Addition mit der Zahl Null kommutativ ist.

Aufgaben zur Multiplikation mit 0

Schauen wir uns nun einige Aufgaben zur Multiplikation mit der 0 an.

Wir sehen, dass die Multiplikation mit der Zahl Null kommutativ ist.

Wir sehen, die Addition und Multiplikation mit der Null ist nicht besonders aufregend.

Sonderfall

Betrachten wir nun einen Sonderfall, und zwar betrachten wir nun die drei Fälle:

1) mit

2) mit

3)

1. Fall

mit

Die Frage, die sich nun stellt, welche Zahl multipliziert mit ergibt Null. Also können wir die Aufgabe in die Sprache der Mathematik übersetzen zu mit . Also multiplizieren wir einmal mit und erhalten:

mit . Welche Zahl ergibt mit einer Zahl , die ungleich Null ist, die Null? Dies kann nur die Zahl Null selber sein also ist das .

Wir erhalten demnach:

mit .

2. Fall

mit

Die Frage, die sich in diesen Fall stellt, ist was multipliziert mit Null die Zahl ergibt. Wir schreiben also

und multiplizieren mit . Wir erhalten die Gleichung mit . Halt! Nach unseren Rechenregeln für die Null erhalten wir für . Also steht dort:

mit

Was ein Widerspruch ist! Die Division durch die Null ist also nicht definiert. Wir schreiben: mit nicht definiert.

3. Fall

Die Frage, die sich stellt ist, welche Zahl multipliziert mit der Null ergibt Null? Umschreiben wir das Problem in die Sprache der Mathematik.

nun multiplizieren wir mit Null und erhalten: . Nun haben wir ein Problem, wenn wir nun für beliebige Zahlen einsetzen, wird die Gleichung immer erfüllt sein.

Zum Beispiel:

usw.

Demnach könnte die Frage gestellt werden, kann gleich jeder beliebigen Zahl sein? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

lässt sich schreiben als und das nach unserer Erkenntnis das jede Zahl sein kann zu . Da jede Zahl sein kann, würde es sich auch als schreiben lassen also .
Schreiben wir den Gedankengang einmal als Gleichungskette auf.

Wir erhalten nun was offensichtlich ein Widerspruch ist. Wir würden in jeder Rechnung Widersprüche erhalten. Deswegen wird als unbestimmt festgelegt und damit ist der Widerspruch aus der Welt.

Also gilt unbestimmt.

Viel Spaß beim Nachrechnen! :-)