Integration durch Substitution

Im folgenden befassen wir uns mit der Integration durch Substitution. Wir liefern zu Beginn eine Definition

und anschließend werden wir diverse Beispiele durchrechnen.

Definition: Seien Latex formula ein Intervall, f eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung Latex formula auf dem offenen Intervall Latex formula und Wertebereich Latex formula. Ferner sei Latex formula eine stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der den Wertebereich Latex formula von Latex formula umfasst. Dann gilt: Latex formula.

Klingt kompliziert? Ihr werdet sehen wie einfach es eigentlich ist. Deshalb legen wir auch direkt mit den Beispielen los. ;)


Beispiel 1:

Latex formula

Wir wollen diese Aufgabe durch Integration durch Substitution lösen. Demnach müssen wir im ersten Schritt uns überlegen was wir am besten substituieren. Es bietet sich Latex formula an.

Nun folgt ein generell gültiger Schritt.

  1. Die Substituion wählen. Latex formula
  2. Nun wird die Substituition differenziert.

    Latex formula

  3. Im letzten Schritt wird nach Latex formula aufgelöst.
  4. Latex formula

    Latex formula

Nun können wir schon einmal das Integral umschreiben. Wir erhalten nach der Substitution: Latex formula

Wir müssen noch die Grenzen mit substituieren. Dies geschieht indem wir in Latex formula die untere und die obere Grenzen einsetzen.

Beginnen wir mit der unteren. Latex formula

Jetzt noch die obere: Latex formula

Wir erhalten das Integral Latex formula

Nun folgt die bekannte Integration.

Latex formula

Beispiel 2:

Latex formula

Wir wählen die Substitution Latex formula

  1. Latex formula
  2. Latex formula
  3. Latex formula

    Demnach ist Latex formula

Als nächstes substituieren wir noch die Grenzen. Beginnen wir mit der unteren Grenze.

Latex formula

Nun die obere Grenze.

Latex formula

Jetzt können wir das Integral aufschreiben.

Latex formula

Wir sehen das sich das Latex formula weg kürzt und wir erhalten:

Latex formula

Dieses Integral lässt sich nun sehr leicht berechnen.

Latex formula

Beispiel 3:

Latex formula

Wir wählen die Substitution Latex formula

  1. Latex formula
  2. Latex formula
  3. Latex formula
  4. umgestellt nach Latex formula erhalten wir: Latex formula

Nun müssen wir noch die Integrationsgrenzen substituieren.

Untere Grenze: Latex formula

Obere Grenze: Latex formula

Jetzt können wir das Integral aufschreiben.

Latex formula

Nun können wir die Integration sehr leicht durchführen.

Latex formula

Beispiel 4:

Latex formula

Wir wählen die Substitution Latex formula

  1. Latex formula
  2. Latex formula
  3. Latex formula demnach erhalten wir Latex formula

Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, sind keine Grenzen vorhanden und wir können direkt zu der Integration über gehen.

Latex formula

Wir sehen das wir das Latex formula kürzen können.

Latex formula

Nun müssen wir noch rücksubstituieren. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Beispiel 5:

Latex formula

Wir wählen die Substitution Latex formula

  1. Latex formula
  2. Latex formula
  3. Latex formula
  4. demnach erhalten wir Latex formula

Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, müssen wir keine Grenzen mit substituieren.

Latex formula

Wir sehen das sich das Latex formula weg kürzt.

Latex formula

Nun können wir integrieren.

Latex formula

Nun müssen wir nur noch rücksubstituieren und wir erhalten:

Latex formula

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