Im Folgenden wollen wir uns mit dem Lösen von linearen Ungleichungen beschäftigen. Zu Beginn schauen wir uns die Regeln genauer an und anschließend rechnen wir diverse Aufgaben mit Lösung vor.
Regeln:
Seien 
reellen Zahlen. Dann heißen 
, 
bzw. 
, 
lineare Ungleichungen.
Die Rechenregeln für lineare Ungleichungen sind fast dieselben wie bei linearen Gleichungen.
Addition-s und Subtraktionsregel: Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.
Multiplikations- und Divisionsregel: Multipliziert (dividiert) man beide Seiten einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl (dividiert durch dieselbe positive Zahl) so ändert sich die Lösungsmenge nicht.
Multipliziert oder dividiert man beide Seiten mit einer negativen Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht, wenn man außerdem die Ungleichheitszeichen umdreht.
Legen wir am besten direkt mit den Aufgaben und den dazugehörigen Lösungen los.
1. Aufgabe mit Lösung
Um diese lineare Ungleichung zu lösen, subtrahieren wir 
. Wir erhalten demnach:
Die Lösungsmenge ist demnach 
2. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt dividieren wir durch . Wir erhalten demnach:
Die Lösungsmenge lautet damit \mathbb 
<2>3. Aufgabe mit Lösung
Als Erstes multiplizieren wir mit 
und erhalten demnach:
Die Lösungsmenge lautet demnach 
4. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt subtrahieren wir 
.
Als Nächstes dividieren wir durch 
und erhalten demnach:
Wir erhalten die Lösungsmenge 
<2>5. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt subtrahieren wir .
Jetzt wird es interessant. Wir dividieren die Ungleichung durch 
. Nun dreht sich zum ersten mal das Ungleichheitszeichen um.
Wir erhalten als Lösungsmenge 
6. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt subtrahieren wir 
.
Nun dividieren wir durch 
und erhalten:
Die Lösungsmenge lautet demnach: 
7. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt addieren wir .
Nun subtrahieren wir 
.
Jetzt haben wir wieder den Fall, in dem sich das Ungleichheitszeichen umdreht da wir durch 
dividieren. Wir erhalten demnach:
Damit lautet die Lösungsmenge: 
8. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt lösen wir die Klammer auf.
Nun fassen wir die linke Seite zusammen.
Jetzt subtrahieren wir 
.
Im letzten Schritt dividieren wir durch 
und erhalten :
Damit lautet die Lösungsmenge 
9. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt lösen wir die Klammer auf.
Nun fassen wir die linke Seite zusammen.
Im nächsten Schritt subtrahieren wir 
und erhalten damit:
Demnach lautet die Lösungsmenge 
10. Aufgabe mit Lösung
Im ersten Schritt lösen wir die Klammer auf.
Nun fassen wir die linke Seite zusammen.
Im nächsten Schritt addieren wir 
.
Nun dividieren wir durch 
und erhalten:
Demnach lautet die Lösungsmenge 
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