Textaufgaben mit Summen und Produkten

Im Folgenden wollen wir uns mit weiteren Textaufgaben beschäftigen. Eine generelle Strategie die immer zum Ziel führt gibt es dazu leider nicht. Deshalb werden wir auch direkt zu den Beispielen über gehen. Ihr werdet feststellen, dass die Methodik sich oft wiederholt.


Beispiel 1:

Die Differenz zweier Zahlen ist Latex formula und deren Produkt ist Latex formula. Bestimme die beiden Zahlen.

Im ersten Schritt führen wir zwei Variablen ein für die Zahl x und für die Zahl y. Laut Aufgabe gilt:

Latex formula

Also die Differenz zweier Zahlen ist Latex formula und es gilt:
Latex formula also das Produkt zweier Zahlen ist Latex formula. Nun haben wir zwei Gleichungen mit zwei unbekannten. Um dies nun zu lösen stellen wir Latex formula nach Latex formula um und setzen es anschließend in die zweite Gleichung ein.

Latex formula Dies wird nun in Latex formula eingesetzt.

Latex formula

Nun haben wir eine Gleichung mit einer unbekannten vorliegen. Wir multiplizieren im ersten Schritt die Klammer aus und erhalten:

Latex formula

Nun sehen wir, dass wir eine quadratische Gleichung vorliegen haben. Diese gilt es nun zu lösen.
Latex formula

Wir erhalten demnach:
Latex formula

Nun können wir die Lösung direkt ablesen. Wir erhalten:

Latex formula oder Latex formula. Nun müssen wir die jeweiligen Werte noch in eine der beiden Gleichungen einsetzen um den zugehörigen x-Wert zu erhalten. Wir benutzen dazu die erste Gleichung.

Für Latex formula gilt:

Latex formula Damit haben wir Latex formula schonmal eine Lösung. Nun zu der anderen Zahl.

Für Latex formula gilt:

Latex formula Latex formula Latex formula

Damit haben wir auch die andere Lösung die lautet Latex formula


Beispiel 2:

Die Summe zweier Zahlen ist Latex formula und deren Produkt ist Latex formula. Bestimme die beiden Zahlen.

Im ersten Schritt führen wir zwei Variablen ein für die Zahl Latex formula und für die Zahl Latex formula. Laut Aufgabe gilt nun folgendes:

Latex formula

Also die Summe zweier Zahlen ergibt Latex formula.

Desweiteren gilt das Latex formula. Das heißt, dass das Produkt zwier Zahlen Latex formula ergibt.

Nun können wir die erste Gleichung nach Latex formula auflösen und erhalten:

Latex formula

Nun können wir Latex formula in die zweite Gleichung einsetzen. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Nun haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen die es nun zu lösen gilt.

Wir erhalten in faktorisierter Form: Latex formula

Damit können wir die Lösungen direkt ablesen.

Latex formula und Latex formula.

Nun müssen wir diese beiden Werte noch in eine der beiden Gleichungen einsetzen um den zugehörigen x-Wert zu erhalten. Wir entscheiden uns für die erste Gleichung.

Für Latex formula gilt:

Latex formula

Damit haben wir die erste Lösung die lautet Latex formula. Nun betrachten wir noch den Fall für Latex formula.

Für Latex formula gilt:

Latex formula

Damit lautet die zweite Lösung Latex formula.

Viel Spaß beim Üben. :)

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