Lineare Funktionen – Subtraktionsverfahren & Ableitungsbegriff

Im Folgendem wollen wir uns mit der Berechnung von linearen Funktionen, insbesondere der Tangenten und Normalen beschäftigen.

  1. Tangente/Normale – was ist das?
  2. Einführung in die lineare Funktionen – 8. Klasse
  3. Subtraktionsverfahren – 9. Klasse
  4. Ableitungsbegriff – 10. Klasse

Tangente/Normale – was ist das?

Eine Tangente ist eine lineare Funkion, also der Form Latex formula, welche eine Funktion in einem gewissen Punkt berührt (tangentiert). Die Normale tritt eigentlich immer im Zusammenhang mit einer Tangente auf. Die Normale ist die Gerade, welche senkrecht/orthogonal (in einem Winkel von 90°) auf der Tangente steht.

Einführung in die lineare Funktionen – 8. Klasse

Wir erinneren uns daran, dass lineare Funktionen die Form

Latex formula

m gibt die Steigung dieser Funktion an.

Ist m>0, so steigt die Funktion. Naiv heißt das, dass die Funktion von „links unten“ nach „rechts oben“ steigt.
Ist m<0, so fällt die Funktion. Analog zu m>0 bedeutet dies, dass die Funktion von „links oben“ kommt und nach „rechts unten“ fällt.
Ist m=0, so ist die Funktion konstant. Also eine waagerechte Linie im Koordinatensystem.

b gibt den y-Achsenabschnitt an, also den Schnittpunkt mit der y-Achse. Jenen Wert, welche die Funktion annimmt, wenn man sie für x=0 betrachtet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse einer linearen Funktion lautet stets
Latex formula und kann direkt abgelesen werden.

Einführung – 8. Klasse

Wir wollen uns nun ein wenig chronologisch an die linearen Funktionen heranarbeiten. Beginnen wir bei Schritt 1, bzw. in diesem Fall Klasse 8. Im Bezug auf lineare Funktionen hat man es in der achten Klasse oftmals zum Einstieg mit Schaubildern zu tun.

§ 1. Einführung und grafisches bestimmen linearer Funktionen:

Hat man ein Schaubild einer linearen Funktion vorliegen und möchte nun die Gleichung ablesen, so sind obige zwei Punkt zu beachten.

1. Was ist der y-Achsenabschnitt?
2. Was ist die Steigung?

Beantwortet man diese zwei Fragen, so hat man die lineare Funktion erfolgreich abgelesen.

Beispiel:

lineare-funktionen-grafik-1

Versuchen wir also die erste Frage zu beantworten. Was ist der y-Achsenabschnitt? Diesen kann man leicht ablesen. In obiger Grafik schneidet die Funktion die y-Achse im Punkt (0|-2). Damit ist b=-2. Nun versuchen wir die Steigung abzulesen. Dies geht mit einem sogenanntem Steigungsdreieck. Wir schauen nach wie sich das Verhältnis der „Höhe“ zur „Breite“ ändert. Dazu geht man wie folgt vor. Man sucht sich zwei schöne Punkte. Damit ist gemeint, dass sie leicht ablesbar sein sollten.

Hat man zwei solche Punkte gefunden, wie in der Grafik der Punkt (0|-2) (rot) und (1|-0.5) (blau) so fängt man an zu zählen. Dabei geht man von dem weiter links liegendem Punkt zum zweiten.

Wir zählen also die Kästchen ab, die wir benötigen um unter dem zweiten Punkt zu sein. In diesem Fall wären das 2.
Nun zählen wir die weiteren Kästchen ab, um den anderen Punkt auch in der Höhe zu erreichen. Dazu benötigen wir 3 Kästchen.

Somit beträgt die Steigung dieser Funktion

Latex formula also die Latex formula

Ein Steigungsdreieck zeichnet man dann inetwa wie in der Grafik ein.

lineare-funktionen-grafik-2

Insgesamt lautet also die Gleichung für unsere lineare Funktion nun:

Latex formula

Das wäre die Variante die Gleichung durch ablesen zu ermitteln.

Aber wie kann man soetwas nun rechnerisch ermitteln?

§ 2. Rechnerische Verfahren zur Bestimmung einer linearen Funktionsgleichung:

Aufgabe: Bestimme die lineare Funktion, welche durch die Punkte A=(0|-2) B=(1|-0.5) geht. Um eine lineare Funktion zu berechnen benötigen wir immer zwei Punkte. Das gilt übrigens auch fürs zeichnen. Wenn ich eine lineare Funktion zeichnen möchte, so sind ebenfalls nur zwei Punkte notwendig. Nun benötigen wir folgende Formel, die sogenannte Punktsteigungsform:

Latex formula

Ein Punkt setzt sich ja immer aus x und y Komponente zusammen. So wäre für den Punkt A Latex formula und Latex formula und für den Punkt B Latex formula und Latex formula

Setzen wir dies nun ein, so erhalten wir:

Latex formula

Und das kommt uns ja bereits bekannt vor. Hat man nun m bestimmt, so kann man dies bereits in die Gleichung einsetzen:

Latex formula

Was fehlt ist noch der y-Achsenabschnitt. Wie bekommen wir den?

Sehen wir uns die Gleichung an, so stellen wir fest, dass in ihr noch drei Unbekannte (y, x, b) vorkommen. Wir müssen also zwei eleminieren und da wir b bestimmen wollen, muss dies y und x sein. Aber das können wir ja ganz leicht tun, immerhin können wir ja einfach wieder obige Punkte ausnutzen.

Dabei ist es auch völlig egal welchen man verwendet. Man muss nur konsequent bleiben. Nehmen wir den Punkt A=(0|-2) und setzen ein:

Latex formula

Hätten wir den Punkt B=(1|-0.5) genommen, so erhielten wir:

Latex formula

Du siehst, dass es keine Rolle spielt.

In der Tat spielt es auch bei der Punktsteigungsform keine Rolle. Hätten wir A und B vertauscht, so hätten wir

Latex formula

erhalten. Also auch hier das selbe Ergebnis. Es ist nur unbedingt darauf zu achten, dass man dabei konsequent vorgeht und nicht x und y-Koordinate der beiden Punkte mischt. Sonst geht es selbstverständlich nicht.

So erhalten wir die Funktionsgleichung:

Latex formula

Dies wäre eine Variante um die Funktionsgleichung zu bestimmen. Erst Punktsteigungsformel gefolgt von dem Einsetzungsverfahren um b zu bestimmen.

Subtraktionsverfahren – 9. Klasse

Eine weitere Variante wäre es zu erst mit dem Subtraktionsverfahren vorzugehen und dann das Einsetzungsverfahren zu bemühen. Dies läuft aber eigentlich auf das selbe hinaus nur, dass man sich die Formel nicht merken muss. Dafür ist es aber etwas komplizierter:

Für das Subtraktionsverfahren stellen wir die zwei Gleichungen auf, welche uns die Punkte liefern:
Mit dem Punkt A erhalten wir

Latex formula

Mit dem Punkt B erhalten wir:

Latex formula

Nach der ersten Gleichung wissen wir direkt, dass -2=b ist. Dies können wir in die zweite Gleichung einsetzen:

Latex formula

Hier war es besonders einfach, da die erste Gleichung sich direkt stark reduziert. Daher ein zweites Beispiel:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion, welche durch die Punkte Latex formula und Latex formula geht.

Latex formula

Wir setzen die beiden Punkte jeweils ein:

I. Latex formula
II. Latex formula

Subtrahieren wir nun II-I so erhalten wir:

Latex formula

Der Sinn dieser Umformung ist es das b zu eleminieren. Es folgt

Latex formula

Nun können wir wieder m in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Auch dies ist egal.
Setze m in Gleichung I. ein.

Latex formula

Somit Latex formula

Welche der beiden Verfahren ihr bevorzugt ist Geschmackssache. Vom Prinzip her sind beide identisch. Empfehlenswerter sollte jedoch die erst genannte Variante sein. Vielleicht erkennt ihr die Formel der Punktsteigungsform ja in der zweiten Variante wieder.

Ableitungsbegriff – 10. Klasse

Kommen wir nun zu den Tangenten und Normalen an einer Funktion: Von dem letzt genannten bis hier vergeht wohl wieder ein Schuljahr, in dem wir neue Methoden an die Hand bekommen haben.

Konkret geht es hier um den Ableitungsbegriff. Ihr wisst nicht was das ist? Auch dazu gibt es hier einen Artikel, weshalb wir an dieser Stelle darauf nicht weiter eingehen als die gröbsten Grundlagen zu nennen. Die Ableitung gibt die Steigung einer Funktion in einem gewissen Punkt an. Dies können wir ausnutzen wenn wir eine Tangente bestimmen wollen. Eine Tangente berührt eine Funktion in einem gewünschten Punkt. Was heißt das für diesen Punkt?

Berührpunkte sind ganz besondere Punkte. Zum einen ist es ein Schnittpunkt und zum anderen herrscht hier für beide Funktionen die selbe Steigung. Kennen wir also die Steigung einer gegebenen Funktion f in diesem Punkt, so kennen wir automatisch auch die Steigung unserer Tangente, welche diesen Punkt tangentieren soll.

Beispiel:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x=1 der Funktion Latex formula
Anfangen sollte man immer damit, dass man sich die Gleichung einer linearen Funktion hinschreibt:
Latex formula

Nach obiger Vorüberlegung wissen wir, dass wenn die Funktion an der Stelle x=1 tangentiert werden soll die Funktion die selbe Steigung wie f, an dieser Stelle, haben muss. Wie bekommen wir die Steigung von f an der Stelle x=1?

Über die erste Ableitung:
Zur Erinnerung Polynome leitet man wie folgt ab (differenziert man wie folgt):

Latex formula

Anmerkung: So ausführlich schreibt man es normalerweise nicht auf. Es war lediglich zur Erinnerung.

Um nun die Steigung für x=1 zu bekommen müssen wir diesen Wert einsetzen:

Latex formula

Somit ist die Steigung m=7 und wir können

Latex formula

festhalten.

Wie bekommen wir nun b? Selbes Spiel wie in § 2. Wir setzen einen Punkt ein um x und y zu „eleminieren“.
Wie bekommen wir einen geeigneten Punkt? Ebenfalls genau wie in § 2. Wir nutzen die Funktion f und das wir den Schnittpunkt direkt bestimmen können. Denn diesen sollen die beiden Funktionen ja gemeinsam haben.

Also:

Latex formula

Der Punkt lautet also (1|2). Setzen wir dies nun also in die lineare Gleichung ein:

Latex formula

und wir haben unsere Tangente gefunden.

lineare-funktionen-grafik-3

Wollen wir nun die Normale finden die an der Stelle x=1 senkrecht auf der Tangente steht, so ist nicht mehr viel zu tun.

Um das senkrechte an der Funktion zu bekommen, müssen wir den negativen Kehrwert (Reziproke) der Tangente als Steigung wählen. Dafür muss selbstverständlich Latex formula gelten. Die Gleichung einer Normalen zu einer gegebenen Tangente Latex formula lautet also wie folgt:

Latex formula

Wobei Latex formula die Steigung der zugehörigen Tangente ist. Und Latex formula der für die Normale individuelle y-Achsenabschnitt. Begeht nicht den Fehler, dass ihr den selben b-Wert nimmt. Das dies falsch ist kann man sich leicht grafisch veranschaulichen.

Da der Winkel zwischen Normale und Tangente 90° beträgt muss sie aus einer anderen Richtung kommen. Sie fällt also wenn die Tangente steigt und steigt wenn die Tangente fällt.

Daher muss auch der y-Achsenabschnitt ein anderer sein.
Latex formula

Der negative Kehrwert ist somit Latex formula

Dies können wir bereits einsetzen:
Latex formula

Wie kommen wir an Latex formula? Wieder genau so wie zuvor. Wir setzen den bekannten Punkt ein:

Latex formula

lineare-funktionen-grafik-4

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