Im Folgenden wollen wir uns mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) befassen. Dazu werden wir uns die Definition anschauen und anschließend diverse Beispiele durchrechnen. Legen wir direkt los.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte natürliche Zahl, durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.
Legen wir direkt mit den Beispielen los, dann wirst du auch schnell erkennen, wie du den ggT berechnen kannst.
1. Beispiel mit Lösung
Bestimme 
Um den 
von 
und 
zu bestimmen, schauen wir uns an, welche Zahlen in die und in die passen.
da durch 
teilbar ist.
da durch 
teilbar ist.
Wenn wir nun den bestimmen wollen, schauen wir uns die größte Zahl an, die sowohl durch und teilbar ist. Demnach erhalten wir 
.
2. Beispiel mit Lösung
Bestimme 
Wir gehen in dem zweiten Beispiel analog wie in dem ersten Beispiel vor. Wir schauen, welche Zahlen alles in die 
und 
passen.
da durch 
teilbar ist.
da durch 
teilbar ist.
Nun schauen wir welche Zahl uns die größte Zahl an, die sowohl durch und teilbar ist. In dem Fall ist es die 
. Demnach erhalten wir 
.
3. Beispiel mit Lösung
Bestimme 
Wollen wir nun den größten gemeinsamen Teiler einer größeren Zahl bestimmen, ist es nicht mehr so leicht sich zu überlegen welche Zahlen alles in die eine und in die andere Zahl passen. Deshalb nutzt man bei größeren Zahlen die Primfaktorzerlegung.
Fangen wir mit der Zerlegung von 
an.
Damit erhalten wir 
Nun zerlegen wir die 
.
Damit erhalten wir 
Jetzt betrachten wir den größten Teiler sowohl von und . Damit erhalten wir:
.
4. Beispiel mit Lösung
Nun betrachten wir ein etwas anderes Beispiel. Wir sehen, dass es sich jetzt nicht direkt um Zahlen handelt, sondern um Variablen. Wir gehen genau so vor wie in den anderen Beispielen und betrachten welcher Ausdruck sowohl in 
als auch in 
steckt.
Wir sehen das 
in beiden Ausdrücken steckt. Damit erhalten wir:
5. Beispiel mit Lösung
Bestimme 
Jetzt betrachten wir nicht mehr zwei Zahlen, sondern drei. Wir gehen genau so vor wie in den anderen Beispielen und schauen uns an, welche Zahlen in die jeweiligen Ausdrücke passen. Alternativ kann man auch sagen, man geht per Primfaktorzerlegung an das Problem.
das heißt, ist durch teilbar.
das heißt, 
ist durch 
teilbar.
das heißt, ist durch teilbar. Wir betrachten nun den größten Teiler, der in allen drei Zahlen vorkommt. Dies ist die Zahl 
Demnach erhalten wir:
.
Viel Spaß beim Üben! :)
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