Im Folgenden wollen wir uns mit dem Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung beschäftigen. Dazu werden wir zu Beginn eine kleine Definition präsentieren und anschließend diverse Beispiele durchrechnen.
Der Satz vom Nullprodukt:
Gegeben sei 
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Mit diesen kleinen Hilfssatz lassen sich sehr viele Aufgaben lösen. Legen wir direkt los. Löse die Gleichungen:
Beispiel 1:
Wir werden nun im ersten Schritt den Ausdruck 
faktorisieren. Dazu nutzen wir die bekannte Rechenregel zum faktorisieren von Trinomen aus. Wir wissen das 
ergibt und 
. Demnach erhalten wir das Produkt 
. Nun können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden.
oder 
oder 
Damit erhalten wir die Lösung der Gleichung. Demnach muss oder sein.
Beispiel 2:
Im ersten Schritt addieren wir 
auf beiden Seiten hinzu. Wir erhalten demnach 
. Nun können wir die bekannte Rechenregel zum faktorisieren von Trinomen anwenden. Wir wissen das 
und 
ergibt. Demnach können wir den Ausdruck auch schreiben als:
Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an der besagt das ein Produkt Null ergibt wenn einer der Faktoren Null ist. Dazu setzen wir die einzelnen Faktoren jeweils gleich Null.
oder 
oder 
Wir erhalten damit die Lösungen oder .
Beispiel 3:
Im ersten Schritt subtrahieren wir 
auf beiden Seiten. Wir erhalten damit:
Nun können wir das Produkt ausmultiplizieren und erhalten:
Jetzt können wir die bekannte Rechenmethode zum faktorisieren des Ausdrucks anwenden.
Wir wissen das 
und 
ergibt.
Demnach erhalten wir:
Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und setzen die jeweiligen Faktoren gleich Null.
oder
oder
Wir erhalten damit die Lösung oder .
Beispiel 4:
Wir haben in diesen Beispiel die faktorisierte Form direkt vorliegen. Demnach können wir den Satz vom Nullprodukt direkt anwenden und setzen dazu die jeweiligen Faktoren gleich Null.
oder 
oder 
Wir erhalten damit als Lösung oder
Beispiel 5:
Wir haben nun eine Bruchgleichung vorliegen. Wir multiplizieren im ersten Schritt mit 
und 
und erhalten damit:
Jetzt können wir die jeweiligen Produkte ausmultiplizieren. Wir erhalten demnach:
Nun bringen wir alles auf eine Seite und erhalten:
Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen die wir nach der bekannten Methode der Faktorisieriung von Trinomen faktorisieren können. Wir wissen das und ergibt. Demnach erhalten wir:
Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und erhalten:
oder
oder
Wir erhalten damit die Lösung das oder gilt.
Viel Spaß beim Üben! :)
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