Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung + 5 Beispiele

Im Folgenden wollen wir uns mit dem Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung beschäftigen. Dazu werden wir zu Beginn eine kleine Definition präsentieren und anschließend diverse Beispiele durchrechnen.

Der Satz vom Nullprodukt:

Gegeben sei Latex formula

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Mit diesen kleinen Hilfssatz lassen sich sehr viele Aufgaben lösen. Legen wir direkt los. Löse die Gleichungen:


Beispiel 1:

Latex formula

Wir werden nun im ersten Schritt den Ausdruck Latex formula faktorisieren. Dazu nutzen wir die bekannte Rechenregel zum faktorisieren von Trinomen aus. Wir wissen das Latex formula ergibt und Latex formula. Demnach erhalten wir das Produkt Latex formula. Nun können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Latex formula oder Latex formula

Latex formula oder Latex formula

Damit erhalten wir die Lösung der Gleichung. Demnach muss Latex formula oder Latex formula sein.


Beispiel 2:

Latex formula

Im ersten Schritt addieren wir Latex formula auf beiden Seiten hinzu. Wir erhalten demnach Latex formula. Nun können wir die bekannte Rechenregel zum faktorisieren von Trinomen anwenden. Wir wissen das Latex formula und Latex formula ergibt. Demnach können wir den Ausdruck auch schreiben als:

Latex formula

Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an der besagt das ein Produkt Null ergibt wenn einer der Faktoren Null ist. Dazu setzen wir die einzelnen Faktoren jeweils gleich Null.

Latex formula oder Latex formula

Latex formula oder Latex formula

Wir erhalten damit die Lösungen Latex formula oder Latex formula.


Beispiel 3:

Latex formula

Im ersten Schritt subtrahieren wir Latex formula auf beiden Seiten. Wir erhalten damit:

Latex formula

Nun können wir das Produkt ausmultiplizieren und erhalten:

Latex formula

Jetzt können wir die bekannte Rechenmethode zum faktorisieren des Ausdrucks anwenden.

Wir wissen das Latex formula und Latex formula ergibt.

Demnach erhalten wir:

Latex formula

Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und setzen die jeweiligen Faktoren gleich Null.

Latex formula oder Latex formula

Latex formula oder Latex formula

Wir erhalten damit die Lösung Latex formula oder Latex formula.


Beispiel 4:

Latex formula

Wir haben in diesen Beispiel die faktorisierte Form direkt vorliegen. Demnach können wir den Satz vom Nullprodukt direkt anwenden und setzen dazu die jeweiligen Faktoren gleich Null.

Latex formula oder Latex formula

Latex formula oder Latex formula

Wir erhalten damit als Lösung Latex formula oder Latex formula


Beispiel 5:

Latex formula

Wir haben nun eine Bruchgleichung vorliegen. Wir multiplizieren im ersten Schritt mit Latex formula und Latex formula und erhalten damit:

Latex formula

Jetzt können wir die jeweiligen Produkte ausmultiplizieren. Wir erhalten demnach:

Latex formula

Nun bringen wir alles auf eine Seite und erhalten:

Latex formula

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung vorliegen die wir nach der bekannten Methode der Faktorisieriung von Trinomen faktorisieren können. Wir wissen das Latex formula und Latex formula ergibt. Demnach erhalten wir:

Latex formula

Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an und erhalten:

Latex formula oder Latex formula

Latex formula oder Latex formula

Wir erhalten damit die Lösung das Latex formula oder Latex formula gilt.

Viel Spaß beim Üben! :)

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