Faktorisierung durch Gruppierung (Ausklammern) + 5 Beispiele

Im Folgenden wollen wir uns mit der Faktorisierung durch Gruppierung beschäftigen. Dazu werden wir exemplarisch einige Beispiele durchrechnen. Zuvor aber eine kleine Erklärung was man unter der Faktorisierung versteht.

Unter der Faktorisierung versteht man das Ausklammern von gleichen Ausdrücken. Das Ziel ist es eine Summe von Ausdrücken als Produkt darzustellen.

Hauchen wir dem Konzept nun etwas Leben ein.


Beispiel 1:

Faktorisiere Latex formula

Bei der Faktorisierung durch Gruppierung geht man immer gleich vor. Wir stellen erst einmal fest das es sich um 4 Ausdrücke handelt also eine gerade Anzahl an Ausdrücken. Als Faustregel kann man sich merken hat man 4 Ausdrücke vorliegen kann man versuchen zu gruppieren und anschließend zu faktorisieren.

Wir setzen nun um Latex formula und Latex formula eine Klammer.

Latex formula Nun wird der ggT bei den jeweiligen Ausdrücken ausgeklammert.

Latex formula Nun sehen wir das Latex formula in beiden Summanden auftaucht. Demnach können wir Latex formula ausklammern und erhalten: Latex formula.


Beispiel 2:

Faktorisiere Latex formula

Im ersten Schritt schauen wir ob sich ein Faktor ausklammern lässt. Dazu schauen wir uns den ggT an. Wir stellen fest das sich Latex formula ausklammern lässt.

Latex formula. Nun betrachten wir den Ausdruck innerhalb der Klammer genauer. Dazu werden die 4 Ausdrücke gruppiert und jeweils eine Klammer gesetzt.

Latex formula Jetzt können wir den ggT in beiden Ausdrücken ausklammern.

Wir erhalten demnach:

Latex formula

Nun stellen wir fest das sich in beiden Ausdrücken Latex formula befindet und können es demnach ausklammern.

Wir erhalten:

Latex formula

Beispiel 3:

Faktorisiere Latex formula

Im ersten Schritt gruppieren wir die Ausdrücke und setzen jeweils eine Klammer.

Latex formula Jetzt können wir den ggT in beiden Ausdrücken ausklammern.

Latex formula Nun sehen wir das sich in beiden Ausdrücken Latex formula befindet. Demnach können wir es ausklammern und erhalten:

Latex formula

Beispiel 4:

Faktorisiere Latex formula

Um diesen Ausdruck zu faktorisieren schauen wir uns das Produkt aus Latex formula und Latex formula an also Latex formula.

Nun bestimmen wir zwei Zahlen die multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben da die Latex formula in dem Ausdruck bei der Latex formula auftauchen.

Wir stellen fest, Latex formula und Latex formula.

Demnach können wir den Ausdruck umschreiben zu:

Latex formula.

Nun führen wir die Gruppierung durch.

Latex formula

Wir klammern nun den ggT in beiden Ausdrücken aus.

Latex formula

Nun sehen wir, das man Latex formula ausklammern kann.

Wir erhalten demnach:

Latex formula

Beispiel 5:

Faktorisiere Latex formula

Im ersten Schritt multiplizieren wir Latex formula.

Nun überlegen wir uns welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben.

Wir erhalten nach etwas grübeln

Latex formula und Latex formula.

Demnach können wir den Ausdruck umschreiben zu Latex formula.

Nun führen wir die Gruppierung durch. Wir erhalten:

Latex formula

Jetzt wird der ggT von beiden Ausdrücken ausgeklammert.

Wir erhalten:
Latex formula

Nun sehen wir das man Latex formula ausklammern kann wir erhalten damit: Latex formula.

Viel Spaß beim Üben! :)

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