Faktorisierung von Trinomen mit Leitkoeffizient ungleich 1

Im Folgenden wollen wir uns mit der Faktorisierung von Trinomen beschäftigen deren Leitkoeffizient nicht die Eins ist. Dazu werden wir kurz erklären was man unter Trinomen und Leitkoeffizient versteht und ein Rechenverfahren vorstellen. Anschließend werden einige Beispiele durchgerechnet. Dieses Vorgehen ist auch eine sehr elegante Alternative zur pq-Formel oder der quadratischen Ergänzung.

Wir verstehen unter einem Trinom ein Polynom, das aus drei Ausdrücken besteht. Ein Beispiel dazu wäre Latex formula mit dem Leitkoeffizient Latex formula. Der Leitkoeffizient ist die Zahl die sich immer vor dem höchsten Exponenten der abhängigen Variablen befindet.

Um einen Ausdruck der Form Latex formula zu faktorisieren gehen wir folgendermaßen vor:

  • 1 Schritt: Multipliziere Latex formula
  • 2 Schritt: Überlege welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert die Zahl Latex formula ergeben
  • 3 Schritt: Gruppiere den Ausdruck und faktorisiere

Legen wir direkt mit den Beispielen los.


Beispiel 1:

Faktorisiere Latex formula

Wir gehen wie in dem vorgestellten Rechenverfahren vor.

1 Schritt: Wir multiplizieren Latex formula und erhalten Latex formula.

2 Schritt: Wir überlegen uns welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben.

Nach ein wenig grübeln erkennen wir das Latex formula und Latex formula ergibt.

Damit können wir den Ausdruck umschreiben zu:

Latex formula

3 Schritt: Wir gruppieren nun den gewonnen Ausdruck und setzen dazu zwei Klammern.

Latex formula Wir klammern nun den ggT bei beiden Ausdrücken aus.

Latex formula Nun können wir Latex formula ausklammern und erhalten:

Latex formula

Damit können wir Latex formula also Latex formula schreiben.


Beispiel 2:

Faktorisiere Latex formula

Wir gehen die einzelnen Schritte ab um die Faktorisierung zu erhalten.

1 Schritt: Wir multiplizieren Latex formula und erhalten Latex formula.

2 Schritt: Nun überlegen wir uns welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben.

Nach etwas grübeln stellen wir fest das Latex formula und Latex formula ergibt.

Damit können wir schreiben: Latex formula.

3 Schritt: Wir gruppieren den Ausdruck und setzen dazu zwei Klammern.

Latex formula Jetzt wird der ggT ausgeklammert.

Latex formula Nun stellen wir das zweite Vorzeichen um Latex formula.

Jetzt können wir ausklammern und erhalten: Latex formula

Nun wissen wir das wir Latex formula schreiben können als Latex formula.


Beispiel 3:

Faktorisiere Latex formula

Wir gehen die vorgestellten Schritte ab.

1 Schritt: Wir multiplizieren Latex formula und erhalten Latex formula.

2 Schritt: Wir überlegen uns welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben.

Nach etwas grübeln erhalten wir Latex formula und Latex formula. Damit können wir Latex formula schreiben als Latex formula.

3 Schritt: Nun werden die einzelnen Ausdrücke gruppiert. Dazu setzen wir eine Klammer um die Ausdrücke.

Latex formula Nun wird der ggT ausgeklammert.

Latex formula Jetzt kann Latex formula ausgeklammert werden und wir erhalten:

Latex formula

Das heißt, wir können Latex formula schreiben als Latex formula.


Beispiel 4:

Faktorisiere Latex formula

Wir gehen wie in dem vorgestellten Rechenverfahren vor.

1 Schritt: Wir multiplizieren Latex formula und erhalten Latex formula.

2 Schritt: Wir fragen uns welche zwei Zahlen multipliziert Latex formula und addiert Latex formula ergeben.

Wir erhalten Latex formula und Latex formula.

Damit können wir Latex formula schreiben als Latex formula.

3 Schritt: Wir gruppieren den Ausdruck und faktorisieren anschließend.

Latex formula Nun wir der ggT ausgeklammert.

Latex formula

Jetzt können wir Latex formula ausklammern und erhalten: Latex formula.

Das heißt wir können Latex formula schreiben als Latex formula.


Beispiel 5:

Faktorisiere Latex formula

Jetzt haben wir einen etwas anderen Ausdruck. Dazu betrachten wir erstmal Latex formula und faktorisieren diesen Ausdruck.

Die Faktorisierung entnehmen wir dem Beispiel 4 und erhalten als Faktorisierung Latex formula.

Nun wird ein Latex formula jeweils an die Latex formula und an die Latex formula gehängt.

Damit erhalten wir: Latex formula.

Das heißt nun, wir können Latex formula auch schreiben als Latex formula.

Viel Spaß beim Üben! :)

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