Zins- und Zinseszinsrechnung + Beispiele

Einfache Verzinsung

Bei der einfachen Verzinsung wird ein einmalig eingezahlter Betrag jährlich verzinst. Dabei wird der Zins jedoch nicht weiter verzinst – es ist also eine Verzinsung ohne Zinseszins, die auch einfache Verzinsung genannt wird. Jedes Jahr wird also erneut nur derjenige Betrag verzinst, der am Anfang eingezahlt wurde.

Den Wert der Einlage nach einem Jahr kann man wie folgt berechnen:
Latex formula

Wobei Kn das Kapital nach n Jahren und r der Zinssatz ist.
Will man den Wert der Einlage nach zwei Jahren berechnen, kann man den Betrag, der nach einer Laufzeit von einem Jahr herauskommt, nochmals mit dem Zinssatz +1 multiplizieren. Für eine bestimmte Laufzeit von n Jahren muss man diesen Vorgang dann n mal wiederholen.

Vereinfacht kommt man auf diese Formel:
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Will man also beispielsweise den Kontostand bei einem Anfangskapital von 20.000 €, einem Zinssatz von r = 4,0% und einer Laufzeit von 3 Jahren berechnen, ergibt sich:
Latex formula

Der Barwert – die Abzinsung

Wenn der Barwert berechnet wird, wird ein bestimmter Betrag nicht verzinst, sondern abgezinst. In der Praxis kann das bedeuten, dass man beispielsweise den bereits verzinsten Endbetrag kennt und nun wissen möchte, wie hoch der Betrag vor der Verzinsung war. Anstatt Abzinsung wird oft der Begriff Diskontierung verwendet.
Als Beispiel soll das Anfangskapital berechnet werden, wenn nach einer Laufzeit von einem Jahr ein Betrag von 10.300 Euro auf dem Konto ist und ein Zinssatz von 3% vereinbart wurde.
Um auf den Barwert zu kommen, muss man also lediglich den Endbetrag durch den Zinssatz + 1 teilen. Dadurch kommt man auf:
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Da die Berechnung auf diese Art jedoch immer den Barwert nach jedem einzelnen Jahr benötigt, kann das Berechnen des Barwerts nach mehreren Jahren aufwendig sein. Daher sollte man mit einer allgemeinen Formel arbeiten. Diese lautet:
Latex formula

Auf diese Formel kommt man durch Umformen der Formel zur Berechnung des Zinsbetrags nach n Jahren, die bereits im oberen Punkt erläutert wurde.

Zinseszins

Bei der Berechnung nach dem Zinseszinsmodell wird nicht nur der einmalig eingezahlte Betrag verzinst, wie es bei der einfachen Verzinsung der Fall ist. Auch der jährlich anfallende Zins wird im darauf folgenden Jahr mit dem gleichen Zinssatz r verzinst. Dadurch erhält man wesentlich mehr Geld, da die Verzinsung des erhalten Zinses stark ins Gewicht fallen kann – besonders bei langen Laufzeiten und hohen Zinssätzen.

Man nimmt also an, dass die erhaltenen Zinsen zu Beginn der nächsten Periode sofort wieder angelegt werden, wobei der gleiche Zinssatz r gezahlt wird.
Um diesem Umstand Rechnung zu tragen, muss der Zinsfaktor, der dem Zinssatz + 1 entspricht, mit der Laufzeit in Jahren potenziert werden. Die Formel zur Berechnung des Endkapitals ist also:
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Als Beispiel soll nun der Endbetrag einer Anlage mit einer Laufzeit von 10 Jahren und einem Zinssatz von 3,25% berechnet werden. Das Anfangskapital betrage 95.000 €.
Eingesetzt in die Formel ergibt sich:
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Parallel zur Berechnung des Barwerts bei einfacher Verzinsung lässt sich auch beim Zinseszins diese Formel nach dem Anfangskapital umstellen:
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Hier berechnen wir beispielhaft das Anfangskapital, das man benötigt, um nach einer Laufzeit von 8 Jahren und einem Zinssatz von 2,99% 80.000 € auf dem Konto zu haben. Wir setzten in die Formel ein und erhalten:
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