Brüche vereinfachen: 8 Aufgaben mit Lösungen

Im Folgenden wollen wir uns mit dem Vereinfachen von Brüchen beschäftigen. Dazu werden wir zu Beginn eine Definition präsentieren und anschließend einige Aufgaben mit Lösungen durchrechnen.

Mit diesen beiden Definitionen können wir direkt loslegen.

1. Aufgabe mit Lösung

Wir sehen, dass der Nenner für Null wird. Deshalb gilt per Definition:

2. Aufgabe mit Lösung

Wir schauen uns wieder den Nenner an und schauen, wann dieser Null wird. Dazu setzen wir und lösen nach auf. Wir erhalten . Demnach gilt:

3. Aufgabe mit Lösung

Wir schauen uns auch hier den Nenner an und schauen, wann dieser Null wird. Hier liegt der Nenner bereits in faktorisierter Form vor. Deshalb können wir ablesen, wann der Nenner Null wird. Wir erhalten demnach:

4. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen den Term so weit wie möglich vereinfachen. Wir sehen, dass wir kürzen können. Dabei muss die Einschränkung gelten, das gilt. Demnach erhalten wir:

5. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen auch hier den Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen. Dazu schauen wir im ersten Schritt wann der Nenner Null wird da diese Werte für x aus dem Definitionsbereich fallen. Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.

und demnach erhalten wir: oder

Wir können nun den Nenner mit der dritten binomischen Formel umschreiben und erhalten:

.

Wir stellen fest das dieser Term nicht weiter vereinfacht werden kann.

6. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen den Term vereinfachen. Dazu schauen wir uns im ersten Schritt den Nenner an und schauen, wann dieser Null wird. Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.

Das heißt nun, das nicht den Wert annehmen darf. Nun schauen wir uns den Zähler an und sehen, dass sich die ausklammern lässt.

. Nun können wir kürzen soweit wir beachten das gilt.

Damit erhalten wir:

für

7. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen auch diesen Bruchterm vereinfachen. Dazu schauen wir uns im ersten Schritt an wann der Nenner Null wird. Dazu faktorisieren wir den Nenner. Wir erhalten:

.

Wir sehen das für oder der Nenner Null wird. Nun betrachten wir den Zähler und faktorisieren diesen ebenfalls. Wir erhalten:

Nun können wir kürzen soweit wir beachten das dieses nur durchführbar ist, solange wir den Wert nicht zu dem Definitionsbereich zählen.

für

8. Aufgabe mit Lösung

Wir wollen auch diesen Bruchterm vereinfachen. Dazu faktorisieren wir diesen Ausdruck durch Gruppierung. Wir klammern dazu folgendermaßen im Zähler und Nenner aus:

.

Nun sehen wir, dass der Nenner für oder Null wird. Wir wollen nun im nächsten Schritt kürzen.

Dazu müssen wir beachten, das diese Umformung nur für gilt.

für .

Viel Spaß beim Üben. :)