Brüche vereinfachen + 8 Übungen mit Lösung

Im Folgenden wollen wir uns mit dem vereinfachen von Brüchen beschäftigen. Dazu werden wir zu Beginn eine Definition präsentieren und anschließend einige Beispiele durchrechnen.

Ein Ausdruck der Form Latex formula ist unbestimmt.

Ein Ausdruck der Form Latex formula mit Latex formula ist undefiniert.

Mit diesen beiden Definitionen können wir direkt loslegen.


Beispiel 1:

Latex formula

Wir sehen das der Nenner für Latex formula Null wird. Deshalb gilt per Definition:

Latex formula
Beispiel 2:

Latex formula

Wir schauen uns wieder den Nenner an und schauen wann dieser Null wird. Dazu setzen wir Latex formula und lösen nach Latex formula auf. Wir erhalten Latex formula. Demnach gilt:

Latex formula
Beispiel 3:

Latex formula

Wir schauen uns auch hier den Nenner an und gucken wann dieser Null wird. Hier liegt der Nenner bereits in faktorisierter Form vor. Deshalb können wir ablesen wann der Nenner Null wird. Wir erhalten demnach:

Latex formula
Beispiel 4:

Latex formula

Wir wollen den Term so weit wie möglich vereinfachen. Wir sehen das wir Latex formula kürzen können. Dabei muss die Einschränkung gelten das Latex formula gilt. Demnach erhalten wir:

Latex formula
Beispiel 5:

Latex formula

Wir wollen auch hier den Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen. Dazu schauen wir im ersten Schritt wann der Nenner Null wird da diese Werte für x aus dem Definitionsbereich fallen. Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.
Latex formula

Latex formula und demnach erhalten wir: Latex formula oder Latex formula

Wir können nun den Nenner mit der dritten binomischen Formel umschreiben und erhalten:

Latex formula.

Wir stellen fest das dieser Term nicht weiter vereinfacht werden kann.


Beispiel 6:

Latex formula

Wir wollen den Term vereinfachen. Dazu schauen wir uns im ersten Schritt den Nenner an und schauen wann dieser Null wird. Dazu setzen wir den Nenner gleich Null.

Latex formula

Latex formula Das heißt nun, das Latex formula nicht den Wert Latex formula annehmen darf. Nun schauen wir uns den Zähler an und sehen, dass sich die Latex formula ausklammern lässt.

Latex formula. Nun können wir Latex formula kürzen soweit wir beachten das Latex formula gilt.

Damit erhalten wir:

Latex formula für Latex formula


Beispiel 7:

Latex formula

Wir wollen auch diesen Bruchterm vereinfachen. Dazu schauen wir uns im ersten Schritt an wann der Nenner Null wird. Dazu faktorisieren wir den Nenner. wir erhalten:

Latex formula.

Wir sehen das für Latex formula oder Latex formula der Nenner Null wird. Nun betrachten wir den Zähler und faktorisieren diesen ebenfalls. Wir erhalten:

Latex formula

Nun können wir Latex formula kürzen soweit wir beachten das dieses nur durchführbar ist, solange wir den Wert Latex formula nicht zu dem Definitionsbereich zählen.

Latex formula für Latex formula


Beispiel 8:

Latex formula

Wir wollen auch diesen Bruchterm vereinfachen. Dazu faktorisieren wir diesen Ausdruck durch Gruppierung. Wir klammern dazu folgendermaßen im Zähler und Nenner aus:

Latex formula.

Nun sehen wir, dass der Nenner für Latex formula oder Latex formula Null wird. Wir wollen nun im nächsten Schritt Latex formula kürzen.

Dazu müssen wir beachten das diese Umformung nur für Latex formula gilt.

Latex formula für Latex formula.

Viel Spaß beim Üben. :)

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