Doppelbruch auflösen + 4 Beispiele

Im Folgenden wollen wir uns mit Doppelbrüchen beschäftigen. Dazu stellen wir zu Beginn eine Definition vor und rechnen anschließend diverse Beispiele durch.
Ein Doppelbruch ist ein Term, bei dem ein Bruch durch einen weiteren Bruch geteilt wird. Dabei gilt:

Latex formula

Mit der Rechenregel machen wir uns nun an die Beispiele.


Beispiel 1:

Latex formula

Wir wollen anhand dieser Aufgabe zwei mögliche Rechenverfahren durchspielen.

Rechenverfahren 1:

Beginnen wir mit der vorgestellten Rechenformel. Dazu müssen wir im ersten Schritt Latex formula und Latex formula addieren. Dazu bestimmen wir den Hauptnenner und addieren anschließend die Zähler. Es gilt:

Latex formula

Für den Nennerbruch gilt:

Latex formula

Nun können wir die vorgestellte Rechenregel anwenden. Es gilt:

Latex formula

Damit lautet die Lösung: Latex formula

Wir sehen, dass wir im ersten Schritt die Brüche im Zähler und im Nenner erst gleichnamig machen mussten um die Rechenregel anzuwenden.

Rechenverfahren 2:

Wir wollen im zweiten Rechenverfahren den Hauptnenner von Latex formula und Latex formula bestimmen. Also von den Nennern, die in den Brüchen im Zähler und im Nenner stehen. Wir stellen fest, dass der Hauptnenner Latex formula lautet. Demnach erweitern wir Zähler und Nenner mit Latex formula. Wir erhalten damit:

Latex formula

Nun multiplizieren wir die Klammer im Zähler und Nenner aus und kürzen direkt. Wir erhalten somit:

Latex formula

Nun können wir die bekannte Rechenregel anwenden. Wir erhalten somit:

Latex formula

Damit haben wir nun zwei Möglichkeiten durchgespielt um mit Doppelbrüchen zu arbeiten. Im Folgenden wollen wir uns mit dem Rechenverfahren 2 weiter befassen.


Beispiel 2:

Latex formula

Wir bestimmen im ersten Schritt den Hauptnenner oder auch besser gesagt das Latex formula. Wir erhalten somit Latex formula. Somit erweitern wir Zähler und Nenner des Doppelbruchs mit Latex formula. Wir erhalten:

Latex formula

Nun multiplizieren wir die Klammer aus und kürzen direkt. Wir erhalten somit:

Latex formula

Damit lautet die Lösung:

Latex formula
Beispiel 3:

Latex formula

Im ersten Schritt bestimmen wir Latex formula. Wir erhalten somit Latex formula. Somit erweitern wir Zähler und Nenner mit Latex formula. Somit gilt:

Latex formula

Nun multiplizieren wir die Klammer aus und kürzen direkt. Wir erhalten damit:

Latex formula

Damit lautet die Lösung: Latex formula


Beispiel 4:

Latex formula

Als erstes stellen wir fest, dass sich Latex formula mit Hilfe der dritten binomischen Formel umschreiben lässt wir erhalten somit Latex formula. Damit gilt:

Latex formula

Nun bestimmen wir im ersten Schritt das Latex formula Wir erhalten somit Latex formula.

Damit erweitern wir Zähler und Nenner mit Latex formula. Somit gilt:

Latex formula

Nun multiplizieren wir die Klammer aus und kürzen direkt. Wir erhalten somit:

Latex formula

Damit lautet die Lösung:

Latex formula

Viel Spaß beim Üben!

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